Exercice 1

Sujet

On dispose de trois pièces qui présentent chacune un côté pile P et un côté face F .

Partie I : retournements successifs

Au départ de l'expérience, à l'instant \(n=0\), on dispose les pièces dans l'état suivant :

\[ \text { instant } n=0 \quad \underset{\text { pièce } 1}{\mathrm{P}} \underset{\text { pièce } 2}{\mathrm{~F}} \underset{\text { pièce } 3}{\mathrm{P}} \]

Ensuite, on retourne une pièce à chaque instant. On retourne d'abord la pièce 1, puis la pièce 2, puis la pièce 3 , puis à nouveau la 1 etc.
Par exemple, à l'instant \(n=2\), les pièces seront dans l'état suivant :

1. Quel sera l'état des pièces à l'instant \(n=5\) ? Et à l'instant \(n=6\) ?
2. Quel sera l'état des pièces à l'instant \(n=2015\) ?
3. À quel instant retournera-t-on pour la \(2015^{\text {ème }}\) fois la pièce 2 ?

Partie II : retournements aléatoires

Dans cette partie, on repart de l'état initial (P)(F)(P) à l'instant \(n=0\). Puis, à chaque instant, on choisit une pièce au hasard parmi les 3 et on la retourne.
Lorsque les 3 pièces présentent le même côté, on arrête les retournements.
Pour tout entier \(n \in \mathbb{N}\), on note \(P_{n}(i)\) la probabilité de voir \(i\) côtés piles à l'instant \(n\).
Par exemple, à l'instant \(n=0\), on est dans l'état P (F) et on voit obligatoirement 2 piles donc :

\[ \left\{\begin{array}{l} P_{0}(0)=0=\text { probabilité de voir } 0 \text { pile à l'instant } n=0 \\ P_{0}(1)=0=\text { probabilité de voir } 1 \text { pile à l'instant } n=0 \\ P_{0}(2)=1=\text { probabilité de voir } 2 \text { piles à l'instant } n=0 \\ P_{0}(3)=0=\text { probabilité de voir } 3 \text { piles à l'instant } n=0 \end{array}\right. \]

1. On représente l'expérience par un arbre. Au bout de chaque branche, on note le nombre de côtés piles visibles, aux instants \(n\) et \(n+1\) :