Olympiades · Académie Paris · 2015 · Toutes séries
Sujet
100 entiers naturels - tous distincts - sont choisis au hasard et sont inscrits sur cent jetons (on ne connait donc en particulier ni le plus petit, ni le plus grand des nombres inscrits sur les jetons). Ces jetons, indiscernables au toucher, sont placés dans une urne.
Le jeu se déroule de la manière suivante : l'organisateur tire, au hasard, les jetons les uns après les autres, sans remise, et lit posément les nombres inscrits dessus. Le joueur doit arrêter cette lecture quand il pense que le plus grand des nombres de l'urne vient d'être annoncé (si il ne l'arrête pas sur le plus grand ou s'il ne demande jamais l'arrêt, le joueur a perdu).
L'organisateur prétend qu'un joueur astucieux a plus d'une chance sur quatre de gagner. Petros veut s'assurer que c'est bien le cas.
Partie A
Petros réduit le jeu à quatre jetons. Il note \(j_{1}, j_{2}, j_{3}, j_{4}\) les nombres portés par ces jetons et considère que \(j_{1}>j_{2}>j_{3}>j_{4}\). Il envisage maintenant diverses stratégies notées \(S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}\) :
\(S_{1}\) : il arrête le jeu au premier nombre annoncé;
\(S_{2}\) : il écoute le premier nombre et ensuite arrête le jeu si un nombre plus grand que le premier est annoncé ;
\(S_{3}\) : il écoute les deux premiers nombres et ensuite il arrête le jeu si un nombre plus grand que les deux premiers est annoncé;
\(S_{4}\) : il écoute les trois premiers nombres et ensuite il arrête le jeu si le dernier nombre est plus grand que les trois premiers annoncés.
Quelle est, pour chacune de ces stratégies, la probabilité pour Petros de trouver le plus grand nombre?
Partie B
Petros a trouvé une stratégie qui lui assure, pour le jeu avec 100 jetons, une probabilité de gagner supérieure à \(\frac{1}{4}\). Sauriez-vous la décrire et la justifier?
Partie A
On note \(P\left(G_{1}\right), P\left(G_{2}\right), P\left(G_{3}\right)\) et \(P\left(G_{4}\right)\) les probabilités de gagner avec respectivement les stratégies \(S_{1}, S_{2}, S_{3}\) et , \(S_{4}\).
\(P\left(G_{1}\right)=P\left(\right.\) « \(j_{1}\) est tiré en premier » \()=\frac{1}{4}\);
\(P\left(G_{2}\right)=\frac{11}{24}>P\left(\right.\) « \(j_{2}\) est tiré en premier \(\left.\gg\right)=\frac{1}{4}\);
\(P\left(G_{3}\right)=\frac{10}{24}>P\left(\right.\) « \(j_{2}\) est tiré en premier ou en second » \(\cap\) « \(j_{1}\) est tiré en troisième ou en quatrième »)