Exercice 1 — Les pièces du Prince

Sujet

Dans la principauté de Pascher, la monnaie en circulation est l'euro (€) mais la banque nationale n'a mis en circulation que des billets de \(20 €\), et des pièces de \(1 €, 2 €\) et \(5 €\).

Dans toute la suite, les prix sont toujours égaux à des nombres entiers d'euros.

Partie A

Dans une boutique, un client règle un achat avec un billet de \(20 €\).
Le commerçant dispose, pour rendre la monnaie, de pièces de 1,2 et \(5 €\).

1. Quel est le nombre minimal de pièces nécessaires pour rendre la monnaie au client pour un achat d'un montant de \(15 €\) ? de \(13 €\) ?
2. Quel est le plus petit nombre de pièces, toutes valeurs confondues, dont doit disposer le commerçant pour pouvoir rendre la monnaie pour un achat d'un montant quelconque, compris entre 1 et \(19 €\) ?

Partie B

La banque nationale décide de réformer. Elle remplace les billets de \(20 €\) par des billets de \(10 €\) et choisit de ne mettre en circulation que deux sortes de pièces, mais hésite encore sur la valeur faciale à donner à ces deux pièces.

On considère des achats d'un montant de 1 à \(10 €\), réglés avec un billet de \(10 €\).
On doit choisir deux valeurs faciales pour les pièces à mettre en circulation, et on se fixe le critère suivant, à savoir, que la moyenne du nombre minimal de pièces nécessaires pour rendre la monnaie, à un client qui paie, avec un billet de \(10 €\), un achat dont le montant est un nombre entier d'euros compris au sens large entre 1 et \(10 €\), soit la plus faible possible.

On suppose que les montants en euros des achats sont répartis de façon uniforme sur l'ensemble des entiers de \(\mathbf{1

\) à \(\mathbf{1 0}\).}

1. Quelle sorte de pièce ne peut-on pas supprimer de la circulation?

2 . Si on choisit de garder en circulation des pièces de \(1 €\) et de \(2 €\). Quelle est la moyenne du nombre minimal de pièces nécessaires pour rendre la monnaie à un client, qui paie avec un billet de \(10 €\), des achats dont le montant est un nombre entier d'euros compris au sens large entre 1 et \(10 €\) ?
3. Y a-t-il un meilleur choix pour les deux valeurs faciales au vu du critère choisi?
4. Au vu du critère choisi, a-t-on intérêt à abandonner le système à trois valeurs faciales, composé de pièces de \(1 €, 2 €\) et \(5 €\), pour un système à deux valeurs faciales?