Exercice 1 — Le nombre d'or et la quine des bâtisseurs

Sujet

A - Introduction

Dans la figure ci-contre ABCD est un carré de côté 1 . M est le milieu de [DC]. Le cercle de centre M et de rayon \(M B\) coupe la demi-droite [DC) en P. ADPE est un rectangle.

1. Calculer la valeur exacte de \(M B\), puis celle de \(D P\). On note \(\Phi=D P\).
   On appelle rectangle d'or un rectangle dont le rapport des côtés vérifie : \(\frac{\text { longueur du plus grand côté }}{\text { longueur du plus petit côté }}=\Phi\). Le rectangle ADPE est donc un rectangle d'or.
2. Démontrer que \(\Phi^{2}=\Phi+1\).
   
3. Démontrer que le rectangle BCPE est aussi un rectangle d'or.

B - La quine des bâtisseurs

Parmi les instruments de mesure utilisés par les bâtisseurs romains, on trouve la quine des bâtisseurs.
Pour évaluer une longueur on se sert soit de la main, soit du pied.
Voici 5 mesures : La paume, la palme, l'empan, le pied et la coudée.
Si on pose - de manière arbitraire - l'empan pour unité, on obtient les relations suivantes :

Par exemple, une palme vaut \(\frac{1}{\Phi}\) empan et un pied vaut \(\Phi\) empans.

1. Démontrer que :

1 paume + 1 palme = 1 empan,
1 palme + 1 empan = 1 pied,
1 empan + 1 pied = 1 coudée.

1. Sur la figure 1 donnée en annexe, ABCD est un carré tel que la longueur du côté soit 1 empan. Le rectangle ADPE est un rectangle d'or. J est un point de la demi-droite [BE) et H un point de la demi-droite \([\mathrm{CP})\). BCHJ est un carré.
   a) Identifier sur la droite \((D C)\) :

• un segment de longueur un pied