Exercice 3 — Sera-t-il ruiné ?

Sujet

Un jeu de hasard consiste à lancer une pièce de monnaie équilibrée :

• Si la pièce tombe sur Pile, le joueur perd \(1 €\).
• Si la pièce tombe sur Face, le joueur gagne \(1 €\).

Un joueur commence avec une mise de \(N\) euros ( \(N\) étant un entier positif), il effectue plusieurs lancers. On note \(S\) la somme dont il dispose à la fin du jeu. On admet que le jeu s'arrête si le joueur perd la totalité de sa mise. Lorsque la mise est perdue, on dit que le joueur est ruiné.
Par exemple, si \(N=3\), et qu'il obtient Face, Pile, Pile, Pile, Pile, alors il est ruiné.

Partie A - mise de \(4 €\)

On suppose dans cette partie que \(N=4\).

1. Combien de lancers le joueur peut-il effectuer au maximum pour avoir la garantie de ne pas être ruiné?
2. Un joueur décide de s'arrêter au bout du troisième lancer.
   a) Représenter cette situation par un arbre.
   b) Compléter le tableau de probabilités suivant :

Somme \(S_{i}\) après les trois lancers
\(P\left(S=S_{i}\right)\)

1. Il décide finalement de poursuivre jusqu'au cinquiéme lancer.

Quelle est la probabilité qu'il soit ruiné?

Partie B - mise de 6 €

On suppose dans cette partie que \(N=6\).
Un joueur décide d'effectuer jusqu'à huit lancers. Par exemple, un tirage obtenu pour les huit lancers serait : \(P F F P P F F F\), pour une somme finale de \(8 €\).

1. Quelle est la somme maximale dont peut disposer le joueur à l'issue de ce jeu? Donner le(s) tirage(s) offrant cette somme maximale.
2. Quelle est la probabilité que le joueur ne gagne aucun lancer, c'est-à-dire qu'il n'obtienne jamais Face?
3. a) Lister les tirages menant à la ruine.
   b) Déterminer \(P(S=0)\), autrement dit la probabilité que le joueur soit ruiné.
4. a) Est-il possible que la somme finale \(S\) soit égale à \(10 €\) ? Si oui, donner un tirage possible menant à cette somme, et déterminer le nombre total de tels tirages.
   b) Quelle est la probabilité que la somme \(S\) soit égale à \(13 €\) ? c
   c) Quelle est la probabilité que le joueur dispose, à l'issue du jeu, d'une somme paire ?

NOUVELLE CALÉDONIE

Premier exercice

Toutes séries
2014 j'adore

Énoncé

Partie A : Nombre premier

Définition :

Un nombre premier est un nombre entier naturel possédant exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers nombres premiers sont \(2 ; 3 ; 5 ; 7\) et 11.

1. Déterminer tous les nombres premiers inférieurs à 60 .
2. Déterminer les diviseurs premiers de 2014.

Exemple : les diviseurs premiers de 2013 sont : \(3 ; 11\) et 61 .

Partie B : Décomposition d'un nombre entier naturel \(a\) en base \(b\)

Description : Soient \(a\) et \(b\) deux nombres entiers naturels.
Notons \(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n-1}\) les \(n\) nombres de l'écriture de \(a\) en base \(b a=a_{n-1} b^{n-1}+a_{n-2} b^{n-2}+\cdots+a_{2} b^{2}+a_{1} b+a_{0}\)
On dit que cette écriture est l'écriture de \(a\) en base \(b\) et on note \(a=\left(a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_{2} a_{1} a_{0}\right)_{b}\).
On peut trouver l'écriture en base \(b\) d'un nombre en utilisant les divisions euclidiennes.
Dividende \(=\) Diviseur × Quotient entier + Reste.
Les termes \(a_{i}\) sont les restes successifs ; ils sont donc plus petits

\multirow{2}{*}{Dividende}	Diviseur
\cline { 2 - 2 }	Quotient entier
Reste

que \(b\).

Notre écriture usuelle des nombres entiers naturels fait appel à 10 chiffres : \(0,1,2,3,4,5,6,7,8\) et 9 .
On dit que ces nombres sont exprimés en base 10 .
Par exemple : \(2014=(2014)_{10}\)
car \(2014=2 \times 10^{3}+0 \times 10^{2}+1 \times 10^{1}+4 \times 10^{0}\)
Remarque: On arrête les divisions euclidiennes lorsque le quotient entier vaut 0 .

Écrire un nombre entier en base 7 consiste à n'employer que 7 chiffres : \(0,1,2,3,4,5\) et 6 .
La décomposition en base 7 du nombre 2014 est \(2014=(5605)_{7}= 5 \times 7^{3}+6 \times 7^{2}+0 \times 7^{1}+5 \times 7^{0}\)

1. Montrer que la décomposition en base 2 du nombre 35 est : \(35=(100011)_{2}\)
2. Déterminer la décomposition du nombre 2014 en base 2.