Exercice 2 — Marathon de points

Sujet

On considère l'itinéraire d'un point animé A dans un repère orthonormé, selon un enroulement en escargot, comme représenté ci-contre. Une unité représente 1 cm .
On note \(\mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \mathrm{M}_{3} \ldots\) les points correspondants aux changements de direction, autrement dit \(\mathrm{M}_{n}\) est le point d'origine du \(n^{\text {ème }}\) déplacement (horizontal ou vertical), avec \(n\) entier strictement positif. \(\mathrm{M}_{1}\) est le point de départ de l'itinéraire, en lequel on a placé l'origine du repére.
La distance parcourue entre deux changements de direction est augmentée de 1 cm , à chaque changement de direction, sachant qu'on commence par parcourir, entre \(\mathrm{M}_{1}\) et \(\mathrm{M}_{2}, 1 \mathrm{~cm}\). On note \(\overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}, \overrightarrow{u_{3}}, \ldots\) les vecteurs repésentant les déplacements (de directions parallèles aux axes); autrement dit, \(\overrightarrow{u_{n}}\) représente le \(n^{\text {ème }}\) déplacement, avec \(n\) entier strictement positif.

Ainsi, \(\overrightarrow{u_{1}}=\overrightarrow{M_{1} M_{2}}, \overrightarrow{u_{2}}=\overrightarrow{M_{2} M_{3}}\) etc, soit \(\overrightarrow{u_{n}}=\overrightarrow{\mathrm{M}_{n} \mathrm{M}_{n+1}}\), avec \(n\) entier strictement positif.
On constate donc, par exemple, que \(\mathrm{M}_{1}(0 ; 0), \mathrm{M}_{2}(0 ; 1), \overrightarrow{u_{1}}\binom{0}{1}\) et \(\overrightarrow{u_{2}}\binom{-2}{0}\)

A) Déplacements

1. Donner les coordonnées des 8 vecteurs correspondants aux 8 premiers déplacements \(\overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}, \ldots, \overrightarrow{u_{8}}\) puis classer ces vecteurs par groupes de vecteurs colinéaires et de même sens.
2. a) Pour quelles valeurs de \(n\), les nombres \(\frac{n}{2}\) et \(\frac{n-1}{2}\) sont-ils des entiers?
   b) Déterminer \((-1)^{\frac{n}{2}}\) en fonction de la valeur de \(n\), dans le cas où \(n\) est pair; puis déterminer \((-1)^{\frac{n-1}{2}}\), en fonction de la valeur de \(n\), dans le cas où \(n\) est impair (on pourra remarquer qu'alors \(n-1\) est pair).
   En déduire l'expression des coordonnées de \(\overrightarrow{u_{n}}\), en fonction de \(n\), pour \(n\) pair, puis pour \(n\) impair.
   c) Déterminer les coordonnées de \(\overrightarrow{u_{400}}\), puis de \(\overrightarrow{u_{715}}\).
3. Recopier et compléter l'algorithme suivant, pour qu'il renvoie les coordonnées \(x_{u}\) et \(y_{u}\) de \(\overrightarrow{u_{n}}\), pour une valeur de \(n\) donnée par l'utilisateur (on pourra utiliser Reste( \(n, d\) ) qui renvoie le reste de la division entiére de \(n\) par \(d\) ) :

VARIABLES
    n entier > 0
    xu entier relatif
    yu entier relatif
ENTREES
    Saisir n
TRAITEMENT
SORTIE
    Afficher }\mp@subsup{x}{u}{},\mp@subsup{y}{u}{