Sujet
Un dragon possède une pierre précieuse d'une valeur inestimable. Il l'a placée dans un coffre avec 8 fausses pierres qui lui ressemblent parfaitement. Les 9 pierres ont respectivement des masses de \(51,52,53, \ldots 59 \mathrm{~g}\) et seule la pierre précieuse a une masse de 55 g . Dans la grotte du dragon se trouve une balance permettant de comparer deux pierres. Mais attention! A la \(17^{\text {ème }}\) pesée une cloche sonne et réveille le dragon! Un chevalier entre dans la salle.
Partie A - Méthode du maximum
Le chevalier décide de trouver la pierre la plus lourde et de la retirer.Dans le pire des cas, combien de pesées devra-t-il effectuer pour trouver la pierre la plus lourde?
Le chevalier décide ensuite de trouver la pierre la plus lourde parmi les 8 pierres restantes, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il ne reste que cinq pierres, la plus lourde sera alors la pierre précieuse.
Dans le pire des cas, combien de pesées le chevalier devra-t-il effectuer au total pour trouver la pierre précieuse avec cette méthode?
Malheureusement le chevalier réveille le dragon, qui se rendort après en avoir fait son repas.
Partie B - Méthode de la médiane des médianes Un deuxième chevalier plus astucieux entre.
Ce chevalier a une idée : il fait 3 tas de 3 pierres chacun.
Combien de pesées le chevalier doit-il effectuer pour ranger 3 pierres de la plus légère à la plus lourde ?
Le chevalier range ainsi chacun des trois tas, puis il place les pierres en carré comme indiqué ci-contre, un tas par ligne, de telle sorte que la colonne du milieu soit rangée comme sur la figure.
- Combien de pesées le chevalier a-t-il dû effectuer pour placer les pierres dans le carré en respectant les inégalités indiquées sur la figure?
- Montrer que si \(E\) est compris entre \(G\) et \(C\), alors \(E\) est la pierre précieuse.
- Montrer que si \(E\) est plus grand que \(G\) et que \(C\), alors la pierre précieuse est la plus lourde parmi \(C, D\) et \(G\).
- Montrer que si \(E\) est plus petit que \(G\) et que \(C\), alors la pierre précieuse est la moins lourde parmi \(C, F\) et \(G\).
- Combien de pesées le chevalier devra-t-il effectuer, dans le pire des cas, pour trouver la pierre précieuse avec cette méthode? Pourra-t-il échapper à l'appétit du dragon?