Exercice 2 — Par l'Aiguille

Sujet

Le mathématicien japonais Soïchi Kakeya s'est demandé au début du XX \({ }^{\mathrm{e}}\) siècle quelle est la plus petite surface à l'intérieur de laquelle il est possible de déplacer une aiguille de manière à la retourner complètement.
On prend dans tout l'exercice une aiguille de longueur 10 cm . Tous les résultats numériques seront donnés à \(10^{-2}\) près (en cm pour les longueurs et en \(\mathrm{cm}^{2}\) pour les aires).
Rappels de géométrie : l'aire d'un triangle équilatéral de côté \(a\) est \(a^{2} \frac{\sqrt{3}}{4}\) et l'aire d'un disque de rayon \(r\) est \(\pi r^{2}\).
On assimilera l'aiguille à un segment sans épaisseur pour tout l'exercice (ce qui entraîne notamment qu'on négligera la forme du chas pour les calculs).

1. Comme on le voit ci-dessous une possibilité de retournement est immédiate : quelle est la surface du disque?
   
   
   
2. On se demande si un carré pourrait faire l'affaire.
   a) Montrer qu'on peut retourner l'aiguille dans un carré de côté 10 cm .
   b) Peut-on retourner l'aiguille dans un carré plus petit? Pourquoi?
3. Une troisième possibilité s'appelle le triangle de Reuleaux.
   
   
   
   
   a) Calculer l'aire du triangle de Reuleaux obtenu avec cette aiguille.
   b) Comparer cette aire à celles déjà trouvées.
4. Les vrais triangles peuvent également apporter des solutions.
   a) Montrer qu'il est possible de retourner l'aiguille dans un triangle équilatéral de hauteur 10 cm . On fera plusieurs dessins pour expliquer les mouvements.
   b) Calculer l'aire de ce triangle.