Exercice 1 — Une version du jeu de Nim

Sujet

Le jeu de Nim se joue à deux :

• On dispose sur une table une ou plusieurs rangées d'allumettes.
• Chaque joueur prend, à tour de rôle, un nombre d'allumettes de son choix (au minimum 1), dans une seule rangée à la fois.
• Le joueur qui prend la dernière allumette a gagné.

Le but de l'exercice est de trouver s'il existe une stratégie gagnante (c'est-à-dire si, en jouant en premier, on peut gagner la partie quoi que fasse l'adversaire).
On se demandera alors si cette stratégie (au cas où elle existe) dépend de la disposition des allumettes ainsi que de celui qui joue en premier.

Dans les configurations suivantes on est le joueur qui commence en premier.
Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I

jeu A : On dispose une seule rangée avec un nombre quelconque d'allumettes.

Question 1. Dans le jeu A, existe-t-il une stratégie gagnante? Si oui, la donner.

jeu B : On dispose deux rangées de trois allumettes comme l'indique la figure ci-contre.

Question 2. Dans le jeu B, répondre aux deux questions suivantes:
a) Décrire deux parties possibles, l'une où on gagne, l'autre où on perd.

b) Y a-t-il une stratégie gagnante? Pourquoi?
jeu C: On dispose de deux rangées de cinq et sept allumettes.
Question 3. Dans le jeu C, répondre aux deux questions suivantes :
a) Décrire deux parties possibles, l'une où vous gagnez, l'autre où vous perdez.
b) Élaborer une stratégie gagnante. On expliquera pourquoi

elle est gagnante.

Partie II