Exercice 3 — Une calculatrice peu habituelle

Sujet

Voici une calculatrice peu habituelle. Elle comporte:

• dix touches pour les chiffres 0 à 9 .
• une touche pour la parenthèse (
• une touche pour la parenthèse )
• une touche C pour effacer
• une touche +/-
• une touche =
• une touche pour l'opération ⊕
• une touche pour l'opération ©

Ces deux opérations ont un fonctionnement très particulier : pour tout nombre \(a\), et pour tout nombre \(b a \oplus b=a+2 b\) et \(a \otimes b=2 a b\)

1. Calculer \(1 \oplus 2\) et \(1 \otimes 2\).
2. Calculer \((1 \oplus 2) \oplus 3,(1 \otimes 2) \otimes 3\) et \(1 \oplus(2 \otimes 3)\)
3. Dans chacun des cas suivants, dire si la proposition est vraie ou fausse :
   a) Pour tous nombres entiers relatifs \(a\) et \(b\), on a \(a \oplus b=b \oplus a\)
   b) Pour tous nombres entiers relatifs \(a\) et \(b\), on a \(a \otimes b=b \otimes a\)
   c) Pour tous nombres entiers relatifs \(a\), \(b\) et \(c\), on a \((a \oplus b) \oplus c=a \oplus(b \oplus c)\)
   d) Pour tous nombres entiers relatifs \(a\), \(b\) et \(c\), on a \((a \otimes b) \otimes c=a \otimes(b \otimes c)\).
4. Résoudre l'équation \(2001 \oplus x=2015\).
5. Résoudre l'équation \(x \otimes x=2048\).
6. Montrer que, pour tous nombres entiers relatifs \(a\), \(b\) et \(c\), on a \(a \otimes(b \oplus c)=(a \otimes b) \oplus(a \otimes c)\).
7. Dire si la proposition suivante est vraie ou fausse :

Pour tous nombres entiers relatifs \(a, b\) et \(c\), on a \(a \oplus(b \otimes c)=(a \oplus b) \otimes(a \oplus c)\).