Exercice 2 — Le carreleur

Sujet

Objectif : Un carreleur dispose d'un choix très varié de couleurs pour son carrelage. Il souhaite installer dans une salle de bain une frise de 2 carreaux de hauteur sur une longueur indéterminée, sans que deux carreaux qui ont un côté en commun n'aient la même couleur, comme présenté ci-dessous.

Partie 1

Le carreleur fait des essais de couleurs sur un échantillon de quatre carreaux.

Premier essai

Dans cet essai et pour répondre aux trois questions suivantes, le carreleur s'impose un carreau noir en \(A_{1}\) et un carreau gris en \(B_{1}\).

1. S'il ne possède que ces 2 couleurs de carreaux, combien peut-il faire d'échantillons?
2. S'il possède une troisième couleur de carreaux, combien peut-il faire d'échantillons?
3. S'il possède en tout \(n\) couleurs différentes (avec \(n\) un entier naturel tel que \(n \geqslant 2\) ), combien peut-il faire d'échantillons?
   On donnera une expression du nombre d'échantillons en fonction de \(n\).

Second essai

Dans cet essai et pour répondre aux trois questions suivantes, le carreleur ne s'impose pas de couleur en \(A_{1}\) ni en \(B_{1}\).

1. S'il possède uniquement 2 couleurs différentes de carreaux, combien peut-il faire d'échantillons?