Exercice 1 — Nombres automorphes — Olympiades 2015 Lyon

Sujet

17 est un nombre entier naturel à deux chiffres, mais dans cet exercice, nous considérons que 17, écrit sous la forme 0017, est aussi un nombre entier naturel á 4 chiffres.
De cette façon, il y a \(10^{4}\) nombres entiers naturels à 4 chiffres, à savoir \(0000,0001,0002, \ldots, 9997,9998\), 9999. De façon plus générale, il y a \(10^{n}\) nombres entiers naturels à \(n\) chiffres.

Un nombre entier naturel à \(n\) chiffres est dit automorphe lorsqu'il apparait à la fin de son carré.
Par exemple, 5 est automorphe à un chiffre car \(5^{2}=25\) et 25 se termine par 5 . Mais 5 , comme nombre à 2 chiffres, s'écrit 05 et n'est pas automorphe, car \(05^{2}=25\) qui ne se termine pas par 05 .

Vérifier que 0001 et 0625 sont des nombres automorphes à 4 chiffres.
Donner les quatre nombres automorphes à 1 chiffre.
Donner les quatre nombres automorphes à 2 chiffres.
Soit \(b\) un nombre automorphe à 2 chiffres, trouver \(a\) (avec \(a\) entier compris entre 0 et 9 ) tel que \(10^{2} a+b\) soit un nombre automorphe à 3 chiffres.
Donner les quatre nombres automorphes à 10 chiffres en expliquant la méthode utilisée.
Démontrer que, pour tout entier \(n \geqslant 1\), il y a exactement quatre nombres automorphes à \(n\) chiffres.

\(0001^{2}=0001\) et \(0625^{2}=390625\) donc 0001 et 0625 sont des nombres automorphes à quatre chiffres.
On a \(0^{2}=0,1^{2}=1,5^{2}=25\) et \(6^{2}=36\).

Donc les quatre nombres automorphes à un chiffre sont \(0,1,5\) et 6 .
On peut remarquer que :
\(a\) est un nombre automorphe à un chiffre ssi 10 divise \(a^{2}-a\).
\(a\) est un nombre automorphe à un chiffre ssi 10 divise \(a(a-1)\).

\[ \begin{aligned} & a \text { est un nombre automorphe à un chiffre ssi }\left\{\begin{array}{l} a(a-1)=0 \\ \text { ou } \\ 5 \text { divise } a \text { et } 2 \text { divise }(a-1) \\ \text { ou } \\ 2 \text { divise } a \text { et } 5 \text { divise } a-1 . \end{array}\right. \\ & a \text { est un nombre automorphe à un chiffre } \mathrm{ssi}\left\{\begin{array}{l} a=0 \text { ou } a=1 \\ \mathrm{ou} \\ a=5 \\ \mathrm{ou} \\ a=6 . \end{array}\right. \end{aligned} \]

On a \(00^{2}=00,01^{2}=01,25^{2}=625\) et \(76^{2}=5776\).

Donc les quatre nombres automorphes à deux chiffres sont \(00,01,25\) et 76 .