Sujet
On considère l'ensemble \(\mathbb{E}\) (ci-dessous) des points dont les coordonnées sont des nombres entiers positifs et dont l'abscisse est supérieure ou égale à l'ordonnée. Autrement dit, on s'intéresse aux points de coordonnées \((x ; y)\) tels que \(x \in \mathbb{N}, y \in \mathbb{N}\) et \(x \geqslant y\).
On considère uniquement les déplacements formés
- de déplacements vers la droite : passage de \((x ; y)\) à \((x+1 ; y)\), l'abscisse augmente de 1 .
- et de déplacements vers le haut : passage de \((x ; y)\) à \((x ; y+1)\).
La figure ci-dessous représente un chemin valide.
Pour chaque point de coordonnées ( \(x ; y\) ) de l'ensemble \(\mathbb{E}\), on note \(N(x ; y)\) le nombre de chemins reliant le point de coordonnées \(0 ; 0\) ) au point de coordonnées ( \(x ; y\) ). (Par convention, on prendra \(N(0 ; 0)=1\) ).
- Que vaut \(N(3 ; 0)\) ?
Soit \(x\) un entier supérieur ou égal à 1 . Que vaut \(N(x ; 0)\) ?
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