Exercice 1 — Plus grande distance sur une figure

Sujet

Partie 1 : Diamètre d'une figure

Étant donnée une figure plane, délimitée par une frontière fermée (qui correspond au contour de cette figure), et M un point de cette frontière, on appelle diamètre de cette figure en \(M\) la distance maximale entre M et un autre point de la frontière.

Dans l'exemple ci-contre, la longueur \(D M\) est le diamètre du pentagone \(A B C D E\) en \(M\) : c'est la plus grande distance possible entre le point M et un autre point de la frontière.

On dit que le segment [DM] réalise le diamètre de \(A B C D E\) en \(M\)

1. On considère un carré ABCD de côté 4 cm et M un point de \([\mathrm{AB}]\)
   a) Donnez la valeur du diamètre de ABCD et M lorsque \(A M=1 \mathrm{~cm}\). Tracez la figure et faites apparaître le(s) segment(s) réalisant cette valeur.
   b) Donnez la valeur du diamètre de ABCD en M lorsque \(A M=2 \mathrm{~cm}\). Tracez la figure et faites apparaître le(s) segment(s) réalisant cette valeur.
   c) Où placer le point M pour que le diamètre en M soit le plus grand possible ? Précisez la valeur de ce diamètre.
2. Soit \(C\) un cercle de rayon 3 cm de centre O . Soit un point M du cercle et M ' le symétrique de M par rapport à O .
   a) Soit P un point du cercle. Prouver que \(M P\) est inférieur ou égal à \(M M^{\prime}\).
   b) Quelle est la valeur du diamètre de \(C\) en M ?
   c) Cette valeur dépend-elle de la position de M ?

Partie 2 : Triangle de Reuleaux

On s'intéresse ici au « triangle» de Reuleaux de côté \(a\). Une telle figure se construit ainsi :

• On trace un triangle équilatéral de côté \(a\).
• On trace les trois arcs de cercle ayant chacun pour centre l'un des sommets du triangle et joignant les deux autres sommets.
  La figure constituée des trois arcs de cercle constitue le triangle de Reuleaux (Ce n'est pas un triangle!).

Un triangle de Reuleaux

1. Soit M un point quelconque du triangle de Reuleaux de côté \(a\). Quel est le diamètre en M de ce triangle?
2. Calculez le périmètre d'un triangle de Reuleaux de côté 2 .
3. Calculez l'aire d'un triangle de Reuleaux de côté 2 .