Exercice 3 — De l'art de manger une plaque de chocolat

Sujet

Une plaque de chocolat contenant \(p \times n\) carrés est représentée par un tableau ayant \(p\) lignes et \(n\) colonnes. Voici, par exemple, une plaque de taille \(4 \times 5\) constituée de 20 carrés numérotés de la manière suivante :

Carré 1	Carré 2	Carré 3	Carré 4	Carré 5
Carré 6	\(\_\_\_\_\)	\(\_\_\_\_\)	\(\_\_\_\_\)	Carré 10
Carré 11	\(\_\_\_\_\)	\(\_\_\_\_\)	\(\_\_\_\_\)	Carré 15
Carré 16	\(\_\_\_\_\)	\(\_\_\_\_\)	\(\_\_\_\_\)	Carré 20

Jacques et Pierre mettent en place le jeu suivant :
Ils mangent à tour de rôle au moins un carré de la tablette de chocolat selon les règles suivantes :

• Jacques débute toujours la partie avec la tablette de chocolat entière.
• Jacques choisit un carré, le mange, ainsi que tous les carrés situés à droite et tous les carrés situés en dessous.
• Pierre procède ensuite de la même façon.
• Et ainsi de suite.
• Le perdant sera celui, de Jacques ou de Pierre, qui mangera le dernier carré situé en haut et à gauche et qui devra acheter une nouvelle plaque.

Pierre et Jacques s'interrogent chacun de leur côté sur la stratégie à adopter pour ne pas devoir payer la prochaine plaque de chocolat à l'issue d'une partie.

Préliminaire

Pierre refuse de jouer avec une tablette de taille \(2 \times 1\). Expliquer pourquoi?

A : Étude d'un exemple

On considère une plaque de chocolat de taille \(3 \times 4\) constituée de 12 carrés.

• Jacques commence la partie et choisit le carré 7 . Reste donc le morceau de plaque suivant :