Exercice 2 — Placer des points

Sujet

I.

Soient I et J deux points du plan tels que \(I J=2\) unités de longueur.
On a placé sur la figure ci-dessous un point K n'appartenant pas à la droite (IJ).

Figure 1

1. On note ( \(P_{1}\) ) le demi-plan défini par la droite (IJ), contenant le point K et la droite (IJ). Tracer sur la Figure 1 l'arc de cercle, noté \((C)\), situé dans le demi-plan \(\left(P_{1}\right)\) et passant par les trois points I , K et J et privé des points I et J . Laisser les traits de construction apparents.
2. Soit M un point appartenant au demi-plan ( \(P_{1}\) ).

Suivant la position du point M , comparer, en justifiant la réponse, les mesures des angles \(\widehat{I M J}\) et \(\widehat{I K J}\).
3. L'arc de cercle ( C ) partage le demi-plan ( \(P_{1}\) ) en trois parties.

Caractériser chacune d'entre elles à l'aide des résultats trouvés précédemment.

II

Dans cette partie, le plan est rapporté à un repère orthonormé d'origine le point A .
La droite ( AB ) sépare le plan en deux demi-plans. ( \(P_{1}\) ) est le demi-plan contenant les points dont l'ordonnée est négative. B est le point de coordonnées \((10 ; 0)\). On note H le milieu du segment \([\mathrm{AB}]\). I est le point de coordonnées ( \(4 ; 0\) ) et J le point de coordonnées ( \(6 ; 0\) ). M est un point du segment [AI], M différent du point I . On note ( \(\Delta\) ) la demi-droite incluse dans le demi-plan ( \(P_{1}\) ) passant par le point M et perpendiculaire à la droite ( AB ) .

L'objectif de cette partie est de placer un point K , différent du point M , sur la demi-droite \((\Delta)\) tel que la mesure de l'angle \(\widehat{I K J}\) soit maximale.

Léa, élève de première S , commence par placer un point \(\mathrm{K}_{0}\) sur la demi-droite ( \(\Delta\) ), puis construit l'arc de cercle ( \(C_{0}\) ) situé dans le demi-plan ( \(P_{1}\) ) passant par les points I , J et \(\mathrm{K}_{0}\).
\(\left(C_{0}\right)\) coupe la demi-droite ( \(\Delta\) ) en un deuxième point \(\mathrm{R}_{0}\), comme indiqué sur la figure ci-dessous :