Exercice 1 — Un tableau remarquable

Sujet

Adepte du calcul mental, Gabriel, professeur de mathématiques, construit un tableau constitué de 3 lignes et de 3 colonnes et le remplit en inscrivant une et une seule fois dans les 9 cases un entier compris entre 1 et 9 , comme indiqué ci-dessous.

4	7	2
9	1	8
3	5	6

Puis, il calcule les produits \(P_{1}, P_{2}\) et \(P_{3}\) des entiers inscrits dans chaque ligne, et les produits \(P_{4}, P_{5}\) et \(P_{6}\) des entiers inscrits dans chaque colonne, comme indiqué dans le tableau complété ci-dessous.

4	7	2	\(P_{1}=56\)
9	1	8	\(P_{2}=72\)
3	5	6	\(P_{3}=90\)
\(P_{4}=108\)	\(P_{5}=35\)	\(P_{6}=96\)
\cline { 1 - 3 }
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Pour la suite du problème, un tableau ainsi construit est appelé « Tableau mental».

Partie A : Un tableau mental

Étourdi, Gabriel n'a recopié que les produits \(P_{1}, P_{3}, P_{4}\) et \(P_{6}\), comme indiqué dans le tableau mental qui suit :

			\(P_{1}=27\)
			\(P_{2}=\ldots\)
			\(P_{3}=70\)
\(P_{4}=30\)	\(P_{5}=\ldots\)	\(P_{6}=168\)
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a) Proposer un tableau mental correspondant aux produits donnés.
b) Existe-t-il un autre tableau vérifiant ces contraintes? Justifier.