Sujet
Dans tout l'exercice, on pourra utiliser sans le justifier les résultats suivants :
- ( \(u_{n}\) ) est une suite géométrique de raison \(q\) si pour tout entier \(n \geqslant 1\), on a \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=q\)
- Si \(\left(\left(u_{n}\right)\right.\) est une suite géométrique de raison \(q\), alors pour tout entier \(n \geqslant 1, u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}\).
On n'hésitera pas à illustrer les réponses aux questions par des dessins. Le triangle POR est rectangle en \(P\).
- On souhaite construire une suite de carrés à l'intérieur du triangle POR comme représentée par la figure ci-dessous :
\(a_{n}\) désigne la longueur du côté du \(n\)-ième carré.
\(\alpha\) désigne la mesure de l'angle \(\widehat{P Q R}\).
a) Si \(n\) est un entier supérieur ou égal à 1 , exprimer \(a_{n+1}\) en fonction de \(a_{n}\) et de \(\alpha\). On pourra considérer la tangente de l'angle \(\widehat{C A B}\) dans le triangle ABC .
b) En déduire que ( \(a_{n}\) ) est une suite géométrique dont on précisera la raison en fonction de \(\alpha\).
c) Montrer également que la suite ( \(O P_{n}\) ) est géométrique et exprimer ( \(O P_{n}\) ) en fonction de \(a_{1}\), \(\alpha\) et \(n\).
d) En sachant que \(P R=2 \mathrm{~m}\) et \(\alpha=30^{\circ}\), et que l'on souhaite utiliser exactement huit carrés tel que \(\mathrm{P}_{9}\) et P soient confondus, quelle sera la longueur \(a_{1}\) du côté du plus petit carré? - On souhaite effectuer la même construction en remplaçant les carrés par des demi-cercles.
\(r_{n}\) désigne le rayon du \(n\)-ème demi-cercle.
\(\alpha\) désigne la mesure de l'angle \(\widehat{P Q R}\).
a) Exprimer \(r_{1}\) en fonction de \(O Q_{1}\) et \(\alpha\), puis \(r_{2}\) en fonction de \(O Q_{2}\) et \(\alpha\).
b) Exprimer \(Q_{1} Q_{2}\) en fonction de \(r_{1}\) et \(r_{2}\).
c) En déduire la valeur de \(\frac{r_{2}}{r_{1}}\) uniquement en fonction de \(\alpha\).
d) En déduire que la suite ( \(r_{n}\) ) est une suite géométrique dont on précisera la raison en fonction de \(\alpha\).
e) En sachant que \(P R=2 \mathrm{~m}\) et \(\alpha=30^{\circ}\), et que l'on souhaite utiliser exactement quatre demicercles tel que \(\mathrm{P}_{5}\) et P soient confondus, quel sera le rayon \(r_{1}\) du plus petit demi-cercle?
- a) On a la configuration suivante, avec le triangle ABC rectangle en B .
La tangente de l'angle \(\widehat{B A C}\) vaut donc
\[ \tan (\alpha)=\frac{B C}{A B}=\frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}-1 . \]
On en déduit que
\[ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1+\tan (\alpha) \Leftrightarrow a_{n+1}=a_{n} \times(1+\tan (\alpha)) . \]
b) D'après la définition donnée au début de l'énoncé, on en déduit que ( \(a_{n}\) ) est une suite géométrique de raison \(1+\tan (\alpha)\) puisque, indépendamment de \(n, \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1+\tan (\alpha)\)
c) On considère le triangle \(\mathrm{OP}_{n} \mathrm{C}\). On a la schéma suivant :
Dans le triangle \(\mathrm{OP}_{n} \mathrm{C}\) rectangle en \(\mathrm{P}_{n}\), on a donc
\[ \tan (\alpha)=\frac{a_{n}}{O P_{n}} \]
donc
\[ O P_{n}=\frac{a_{n}}{\tan (\alpha)} \]
De même, \(O P_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{\tan (\alpha)}\), donc \(\frac{O P_{n+1}}{O P_{n}}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1+\tan (\alpha)\).
Ainsi \(\left(O P_{n}\right)\) est aussi une suite géométrique de raison \(1+\tan (\alpha)\), et on a la formule suivante pour tout \(n \geqslant 1\) :
\[ O P_{n}=\frac{a_{n}}{\tan (\alpha}=a_{1} \frac{(1+\tan (\alpha))^{n-1}}{\tan (\alpha)} . \]
d) Les données de l'énoncé nous donnent les valeurs suivantes pour le problème :
\[ a_{8}=2 m \quad \alpha=30 . \]
On a donc
\[ a_{8}=a_{1} \times(1+\tan (30))^{7} \]
donc
\[ a_{1}=\frac{a_{8}}{(1+\tan (30))^{7}}=\frac{2}{\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{7}} \approx 0,082 \mathrm{~m} \approx 8,2 \mathrm{~cm} . \]
Le premier carré aura donc un côté d'environ \(8,2 \mathrm{~cm}\).
a) Le triangle \(\mathrm{OA}_{1} \mathrm{Q}_{1}\) est rectangle en \(\mathrm{A}_{1}\). On a donc
\[ \sin (\alpha)=\frac{A_{1} Q_{1}}{O Q_{1}}=\frac{r_{1}}{O Q_{1}} \]
donc
\[ r_{1}=O Q_{2} \times \sin (\alpha) . \]
Avec le même raisonnement, on obtient
\[ r_{2}=O Q_{2} \times \sin (\alpha) . \]
b) Comme \(\mathrm{P}_{2}\) appartient au segment \(\left[\mathrm{Q}_{1} \mathrm{Q}_{2}\right]\), on a la relation suivante : \(Q_{1} Q_{2}=Q_{1} P_{2}+P_{2} Q_{2}= r_{1}+r_{2}\).
c) Comme \(\mathrm{Q}_{1}\) appartient au segment \(\left[\mathrm{OQ}_{2}\right]\), on obtient \(O Q_{2}=O Q_{1}+Q_{1} Q_{2}\). Donc, d'après la question a), on obtient l'égalité :
\[ \frac{r_{2}}{\sin (\alpha)}=\frac{r_{1}}{\sin (\alpha)}+r_{1}+r_{2} . \]
Ainsi
\[ \frac{r_{2}}{\sin (\alpha)}-r_{2}=\frac{r_{1}}{\sin (\alpha)}+r_{1} \Leftrightarrow r_{2}\left(\frac{1}{\sin (\alpha)}-1\right)=r_{1}\left(\frac{1}{\sin (\alpha)}+1\right) . \]
En multipliant l'égalité par \(\sin (\alpha)\), on obtient alors
\[ r_{1}(1-\sin (\alpha))=r_{2}(1+\sin (\alpha)) \Leftrightarrow \frac{r_{2}}{r_{1}}=\frac{1+\sin (\alpha)}{1-\sin (\alpha)} . \]
d) Les calculs faits précécemment sont les mêmes pour le calcul de \(\frac{r_{n+1}}{r_{1}}\), donc la suite ( \(r_{n}\) ) est géométrique de raison \(\frac{1+\sin (\alpha)}{1-\sin (\alpha)}\).
e) Les données de l'énoncé nous donnent les valeurs suivantes pour le problème :
\[ a_{2}=2 \mathrm{~m} \quad \alpha=30 . \]
Ainsi \(\frac{1+\sin (\alpha)}{1-\sin (\alpha)}=\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=3\). ( \(a_{n}\) ) est donc géométrique de raison 3. D'où :
\[ a_{4}=a_{1} \times 3^{3} \Leftrightarrow a_{1}=\frac{a_{4}}{3^{3}}=\frac{2}{27} \approx 0,074 \mathrm{~m} \approx 7,4 \mathrm{~cm} . \]
Le premier demi-cercle aura donc un rayon d'environ \(7,4 \mathrm{~cm}\).