Exercice 3 — La montre — Olympiades 2015 Guadeloupe et Martinique

Sujet

Léa a reçu pour ses étrennes le \(1^{\text {er }}\) janvier 2015 une montre avec un dateur qui indique le numéro du jour dans le mois. Elle est déçue de constater le \(1^{\text {er }}\) mars que la montre n'a pas affiché « 1 » comme attendu, mais \(<29 \gg\).
En fait, ce dateur ne tient pas compte de la longueur variable des mois et pour son calendrier simple, tous les mois ont 31 jours. On suppose dans la suite que Léa n'effectue aucune correction sur le dateur.

Quel nombre affichera le dateur le \(1^{\mathrm{er}}\) mars 2016 ?
Quand, pour la première fois après le \(1^{\mathrm{er}}\) mars 2015 , la montre affichera-t-elle une date correcte?

Une année non bissextile comporte 365 jours. Avec un dateur qui considère que tous les mois ont 31 jours, l'année comporterait 372 jours, soit un décalage de 7 jours. Ainsi le 31 décembre 2015, le dateur affiche 24 . L'année 2016 est une année bissextile avec 29 jours en février. Le 29 février, le mois de janvier ayant 31 jours ne provoque pas de décalage supplémentaire, il y a encore un décalage de 7 jours le 29 février, le dateur affichera 22 . Il affichera donc 23 le \(1^{\text {er }}\) mars 2016 .
Le décalage est de 7 jours pour une année non bissextile et de 6 jours pour une année bissextile. Le décalage est de 7 jours le 31 décembre 2015, de 6 jours supplémentaires le 31 décembre 2016, de 7 jours supplémentaires les 31 décembre 2017, 31 décembre 2018. Ce dernier jour le décalage sera de 27 jours. Le 31 décembre 2018 et le 31 janvier 2019, le dateur affichera 4 . Il affichera 5 les \(1^{\text {er }}\) janvier et \(1^{\text {er }}\) février 2019 et 2 , les \(1^{\text {er }}\) mars et \(1^{\text {er }}\) avril 2019 , 31 le 30 avril 2019 et 1 le \(1^{\text {er }}\) mai 2019.

La montre affichera une date correcte pour la première fois le \(1^{\text {er }}\) mai 2019.