Sujet
On considère la figure ci-contre où l'arc de cercle BD a pour centre O , le point C est un point de l'arc BD tel que le segment [OC] coupe le segment \([\mathrm{BD}]\) en un point E de façon que :
\(B E=5 ; E D=3\) et \(E C=1\).
- Déterminer le rayon de l'arc de cercle BD .
- Quelle est l'aire exacte de la surface délimitée par le segment [ BD ] et l'arc de cercle BD ?
- On note \(R\) le rayon du cercle.
Comme E est un point de [OC], alors \(O E=O C-E C= R-1\) et : \(O E^{2}=(R-1)^{2}\)
Dans le triangle OEI rectangle en I, d'après le théorème de Pythagore: \(O E^{2}=O I^{2}+E I^{2}=R^{2}-16+1=R^{2}-15\)
On obtient l'équation suivante : \((R-1)^{2}=R^{2}-15\)
Soit \(R^{2}-2 R+1=R^{2}-15\) soit \(R=8\).
2. L'aire recherchée est égale à la différence entre l'aire du secteur angulaire OBD et l'aire du triangle OBD.
Le triangle BOD est équilatéral. L'aire du secteur angulaire est \(1 / 6\) de l'aire du disque soit \(\frac{32 \pi}{3}\).
L'aire du triangle OBD est :
\(\frac{O I \times B D}{2}=\frac{\sqrt{48} \times 8}{2}=16 \sqrt{3}\).
L'aire recherchée est : \(16 \sqrt{3}-\frac{32 \pi}{3}\)