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Exercice 1 — Le virus

Olympiades · Académie Guadeloupe et Martinique · 2015 · Toutes séries

Sujet

Les habitants d'un petit village de montagne sont touchés par un virus peu dangereux (la guérison est très rapide), mais contagieux. On suppose que la propagation de ce virus suit le schéma suivant :

Mathix arrive dans ce village, un dimanche soir, en bonne santé, pour un séjour d'une semaine.

  1. Quelle est la probabilité que Mathix soit malade tous les jours de la semaine?
  2. Quelle est la probabilité qu'il soit malade le mercredi?
  3. Quelle est la probabilité qu'il ne tombe pas malade au cours de la semaine?
  4. Quelle est la probabilité qu'il soit malade trois jours dans la semaine?
  1. Si un individu est malade un jour, il est systématiquement guéri le jour suivant. Mathix ne peut donc pas être malade tous les jours de la semaine. La probabilité que Mathix soit malade tous les jours de la semaine est nulle.
  2. On peut réaliser un arbre. On note \(A_{i}\) l'événement « Mathix est malade le \(i\)-ème jour de la semaine. \(\gg\) On obtient : \(P\left(A_{3}\right)=0,6 \times 1 \times 0,6+0,4 \times 0,4 \times 0,6=0,456\).
    La probabilité que Mathix soit malade le mercredi est donc égale à 0,456 .
  3. Si un individu est en bonne santé un jour, il l'est encore le jour suivant avec une probabilité égale à \(40 \%\), donc : la probabilité que Mathix ne tombe pas malade au cours de la semaine est égale à \((0,4)^{7} \approx 0,00164\).
  4. Puisqu'un individu malade un jour est systématiquement guéri le jour suivant, Mathix sera malade trois jours de la semaine si et seulement si il est malade uniquement les trois jours suivants :
  • lundi, mercredi et vendredi : \(0,6 \times 1 \times 0,6 \times 1 \times 0,6 \times 1 \times 0,4=(0,6)^{3} \times(0,4)\)
  • lundi, mercredi et samedi : \(0,6 \times 1 \times 0,6 \times 1 \times 0,4 \times 0,6 \times 1=(0,6)^{3} \times(0,4)\)
  • lundi, mercredi et dimanche : \(0,6 \times 1 \times 0,6 \times 1 \times 0,4 \times 0,4 \times 0,6=(0,6)^{3} \times(0,4)^{2}\)
  • lundi, jeudi et samedi : \(0,6 \times 1 \times 0,4 \times 0,6 \times 1 \times 0,6 \times 1=(0,6)^{3} \times(0,4)\)
  • lundi, jeudi et dimanche : \(0,6 \times 1 \times 0,4 \times 0,6 \times 1 \times 0,4 \times 0,6=(0,6)^{3} \times(0,4)^{2}\)
  • lundi, vendredi et dimanche : \(0,6 \times 1 \times 0,4 \times 0,4 \times 0,6 \times 1 \times 0,6=(0,6)^{3} \times(0,4)^{2}\)
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