On considère l'ensemble des entiers ayant au maximum trois chiffres noté \(\mathbb{N}_{3}\).
Tout nombre entier de \(\mathbb{N}_{3}\) peut s'écrire sous la forme \(100 c+10 d+u\) avec \(c, d\) et \(u\) les chiffres des centaines, dizaines et unités (ces trois chiffres pouvant être nuls ou non).
On définit sur cet ensemble une opération notée @ par
\((100 c+10 d+u) @\left(100 c^{\prime}+10 d^{\prime}+u^{\prime}\right)=c c^{\prime}+d d^{\prime}+u u^{\prime}\).
Ainsi, \(137 @ 48=1 \times 0+3 \times 4+7 \times 8=68\).
On construit une liste de nombres de la façon suivante : \(u(0)=a, u(1)=b\) puis pour tout entier naturel \(n, u(n+2)=u(n+1)\) @ \(u(n)\).
Ainsi, en prenant \(n=0\), on obtient \(u(2)=u(1) @ u(0)\).
En prenant \(n=1\), on obtient \(u(3)=u(2) @ u(1)\) et ainsi de suite.
a) \(a=35\) et \(b=39\); calculer \(u_{100}\).
b) \(a=1\) et \(b=7\); calculer \(u_{100}\).
En notant \(c, d, u\) et \(c^{\prime}, d^{\prime}\) et \(u^{\prime}\) les centaines, dizaines et unités, on a \(a @ b=c c^{\prime}+d d^{\prime}+u u^{\prime}=81 \times 3<1000\) donc \(a @ b \in \mathbb{N}_{3}\).
3. a) Pour tous les entiers \(a\) et \(b\) de \(\mathbb{N}_{3}, a @ b=b @ a\).
VRAI puisque \(c c^{\prime}+d d^{\prime}+u u^{\prime}=c^{\prime} c+d^{\prime} d+u^{\prime} u\).
b) pour tous les entiers \(a\), \(b\) et \(c\) de \(\mathbb{N}_{3}, a @(b+c)=a @ b+a @ c\).
FAUX, par exemple :
\(11 @(23+28)=11 @ 51=6\)
\(11 @ 23=5\) et \(11 @ 28=10\) donc \(a @ b+a @ c=16\).
c) pour tous les entiers \(a, b\) et \(c\) de \(\mathbb{N}_{3}, a @(b @ c)=(a @ b) @ c\).
FAUX, par exemple :
\(11 @(23 @ 28)=11 @ 28=10\).
(11@23) @ \(28=5\) @ \(28=40\).
d) si \(a @ a=0\) alors \(a=0\).
VRAI car \(a @ a=0\) équivaut à \(c^{2}+d^{2}+u^{2}=0\) d'où \(c=d=u=0\).
4. a) \(23 @ x=23\).
Avec les notations de l'énoncé, si \(x=100 c+10 d+u\), l'équation devient \(0 c+2 d+3 u=23\) donc trois solutions : \(17,45,73\) pour chacune des valeurs de \(c\), soit au total 30 solutions ( 17,117 , \(217, \ldots 45,145, \ldots\) )
b) \(x\) @ \(73=x\).
\(7 d+3 u=100 c+10 d+u\) équivaut à \(100 c+3 d=2 u\) on en déduit que \(c=0\) et on trouve quatre solutions : \(0,23,46,69\).
5. a) Les premiers termes de la suite sont : \(35,39,54,51,29,19,83,35,39, \ldots\)
La suite est donc périodique de période 7 donc \(u_{100}=u_{2}=54\).
b) Les premiers termes de la suite sont :
\(1,7,7,49,63,51,33,18,27,58,66,78,90,63,54,42,28,24,36,30,9,0,0,0,0,0,0, \ldots\)
La suite est stationnaire à partir du rang 21 donc \(u_{100}=0\).