Sujet
Un écolo-système est un ensemble de couples \(\left\{\left(A_{i} ; \alpha_{i}\right), 1 \leqslant i \leqslant n\right\}\) où \(A_{i}\) est un point du plan, \(\alpha_{i}\) un entier naturel correspondant au nombre d'aller-retours entre ce point et le point de départ.
À chaque point de départ M du plan, on associe alors le trajet total \(T(M)\) correspondant à l'écolosystème.
Une solution pour l'écolo-système est un point S tel que la fonction \(T\) soit minimale en S .
Résoudre un écolo-système, c'est trouver l'ensemble des solutions à cet écolo-système.
Dans l'exemple ci contre,
\[ \begin{aligned} T(M) & =2 \times M A_{3}+2 \times A_{3} M+10 \times M A_{1}+10 \times A_{1} M \\ & +3 \times M A_{2}+3 \times A_{2} M+5 \times M A_{4}+5 \times A_{4} M \end{aligned} \]
Partie A
Soient A et B deux points du plan tels que \(A B=9\).On considère l'écolo-système \(\mathcal{A}=(A ; 5) ;(B ; 4)\).
- On place M sur \([\mathrm{AB}]\) tel que \(A M=4\).
a) Calculer \(T(M)\).
b) Pensez vous que ce point de départ M soit un point solution pour l'écolo-système \(\mathcal{A}\) ? - Soient C et D deux points quelconques du plan et \(a\) et \(b\) deux entiers naturels quelconques. On considère l'écolo-système \(\mathcal{B}=(C ; a) ;(D ; b)\).
a) Démontrer que si M est solution de \(\mathcal{B}\), alors M est nécessairement sur le segment [CD].
b) Résoudre alors \(\mathcal{B}\)
Partie B
Soient \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}\) trois points du plan tels que \(\mathrm{R} \in[\mathrm{PQ}), P Q=10\) et \(P R=12\).On considère l'écolo-système \(\mathcal{D}=\{(P ; 4) ;(Q ; 3) ;(R ; 2)\}\).
On suppose que \(\mathrm{M} \in[\mathrm{PQ}]\), et on pose \(P M=x\).
a) Exprimer \(T(M)\) en fonction de \(x\).
b) Résoudre \(\mathcal{D}\).
Partie C
Dans le plan repéré, on considère les points \(\mathrm{A}(1 ; 0) ; \mathrm{B}(2 ; 0) ; \mathrm{C}(2 ; 0) ; \mathrm{D}(2 ; 0) ; \mathrm{E}(2 ; 0)\).Proposer une solution à l'écolo-système \(\mathcal{E}=\{(\mathrm{A} ; 1) ;(\mathrm{B} ; 2) ; \ldots ;(\mathrm{E} ; 5)\}\).
Expliquer clairement le raisonnement.
Partie D
Soient \(\mathrm{S}, \mathrm{T}, \mathrm{U}\) trois points non alignés du plan.On considère l'écolo-système \(\mathcal{F}=\{(\mathrm{S} ; a) ;(\mathrm{T} ; b) ;(\mathrm{U} ; c)\}\) où \(a, b\) et \(c\) sont trois entiers strictement positifs.
- On suppose que M appartient au demi-plan de fronti?ere (UT) ne contenant pas S. Quelle construction géométrique permet d'obtenir un point M' tel que \(T\left(M^{\prime}\right)
- Démontrer qu'un point solution au système se trouve nécessairement à l'intérieur du triangle STU.
Justifier.
- Démontrer qu'un point solution au système se trouve nécessairement à l'intérieur du triangle STU.
Partie A
- a) \(T(M)=5 \times 4 \times 2+4 \times 5 \times 2=80\).
b) Non, il est possible de diminuer \(T(M)\) :
si l'on place M en B : \(T(M)=5 \times 9=45\); et si l'on place M en A : \(T(M)=4 \times 9=36\). - a) Si M n'est pas sur sur le segment [CD], alors il suffit de le projeter sur le segment ou sur celle des extrémités qui est la plus proche pour obtenir un point H tel que \(T(H)
[0pt] b) Soit M un point du segment [CD], notons \(x\) la distance \(C M\).
On a alors \(T(M)=2 \times x \times a+2 \times(C D-x) \times b=2(a-b) x+2 \times C D\).
- Si \(a=b\) alors pour tout point M de [CD], on a \(T(M)=2 \times C D\), tout point du segment est alors solution.
- Si \(a
- Si \(a>b\), alors c'est le point C qui est solution.
Partie B
a) on a alors pour \(0 \leqslant x \leqslant 10: T(M)=2 \times x \times 4+2 \times(10-x) 3+2 \times(12-x) \times 2=108-2 x\).b) Par le même raisonnement qu'à la partie A , on montre que les solutions du système sont nécessairement sur le segment \([\mathrm{PR}]\).
- Sur le segment \([\mathrm{PQ}]\), l'expression trouvée ci-dessus est minimale lorsque \(x\) est maximal, soit \(x=10\) c'est-à-dire pour le point Q .
- Sur le segment \([\mathrm{QR}]\), on trouve de même pour \(10 \leqslant x \leqslant 12, T(M)=10 x-12\) qui est minimal pour \(x=0\), soit à nouveau pour le point Q .
La solution de l'écolo-système \(\mathcal{D}\) est donc le point Q .