Exercice 3

Sujet

Pour tout entier naturel non nul \(N\), écrit en base dix, on note \(s\) la somme de ses chiffres et \(p\) le produit de ses chiffres.

1. Préliminaire
   a) Calculer la somme \(s\) et le produit \(p\) avec l'entier \(N=242\).
   b) Que peut-on dire de \(p\) si \(N\) s'écrit avec au moins une fois le chiffre 0 .

Dans la suite de l'exercice, on considère uniquement des nombres qui s'écrivent sans le chiffre 0 .
À partir de chaque entier \(N\), on construit un entier \(N^{\prime}\) en accolant, à gauche ou à droite, des chiffres supplémentaires à l'écriture décimale de \(N\). On dit qu'un tel entier \(N^{\prime}\) est rallongé à partir de \(N\). Par exemple, à partir de l'entier 242, on peut construire les entiers rallongés 2421, 242678, 15242, 7777242 , etc.
2. Dans cette question, on souhaite comparer la somme \(s\) et le produit \(p\).
a) Donner un exemple d'entier \(N\) à deux chiffres pour lequel on a \(s=p\), puis un exemple d'entier \(N\) à trois chiffres pour lequel on a encore \(s=p\).
b) Montrer qu'il existe une infinité d'entiers \(N\) non nuls pour lesquels on a \(s \neq p\).
c) Montrer, qu'à partir de l'entier \(N=242\), on peut construire un entier \(N^{\prime}\) rallongé, pour lequel on a \(s^{\prime}=p^{\prime}\), où \(s^{\prime}\) et \(p^{\prime}\) sont respectivement la somme et le produit des chiffres de l'entier \(N^{\prime}\).
d) Dans cette question, on considère un entier non nul \(N\) pour lequel on a : \(s

Montrer, qu'à partir de \(N\), on peut construire un entier \(N^{\prime}\) rallongé tel que \(s^{\prime}=p^{\prime}\), où \(s^{\prime}\) et \(p^{\prime}\) sont respectivement la somme et le produit des chiffres de l'entier \(N^{\prime}\).
e) Même question avec un entier non nul \(N\) tel que \(s \neq p\)
3. Dans cette question, on souhaite prouver qu'il existe une infinité d'entiers non nuls \(N\) tels que \(p=k s\), pour certaines valeurs de l'entier \(k\).
a) Donner un exemple d'entier \(N\) pour lequel \(p=2 s\), puis un exemple d'entier \(N\) pour lequel \(p=10 s\).
b) Montrer qu'il existe une infinité d'entiers naturels \(N\) pour lesquels on a : \(p=2 s\).
c) Montrer qu'il existe une infinité d'entiers naturels \(N\) pour lesquels on a : \(p=7 s\).