Exercice 2 — Les caméléons

Sujet

Dans un milieu clos vivent des caméléons de trois couleurs : rouge, vert et jaune.
On dit que la population de caméléons est dans l'état ( \(r, v, j\) ) lorsque qu'il y a \(r\) caméléons rouges, \(v\) verts et \(j\) jaunes.
Chaque caméléon ne peut changer de couleur que lorsqu'il en rencontre un autre.
Chaque fois que deux caméléons se rencontrent :

• si les deux caméléons sont de même couleur, ils gardent leur couleur ;
• s'ils sont de couleurs différentes, ils prennent tous les deux la troisième couleur (exemple : si un caméléon rouge rencontre un caméléon vert, ils deviennent jaunes tous les deux).
  On suppose que trois caméléons ne se rencontrent jamais simultanément.

1. Dans cette question, on suppose que la population de caméléons est dans l'état ( \(3,5,6\) ).
   a) Donner les états possibles de la population après une rencontre, puis après deux rencontres.
   b) Montrer que l'on peut parvenir à l'état ( \(0,14,0\) ). Écrire tous les états intermédiaires.

Quel est le nombre minimal de rencontres conduisant à cet état? Justifier.
2. On dit que la population est dans un état fixe lorsqu'il n'y a qu'une seule couleur de caméléons.
a) Montrer qu'on peut parvenir à un état fixe à partir de l'état ( \(7,10,8\) ).

Quel est le nombre minimal de rencontres conduisant à cet état? Justifier.
b) On part de l'état ( \(r, r+3, j\) ) avec \(r\) et \(j\) des entiers naturels. Montrer que l'on peut parvenir à un état fixe.
Plus généralement, en partant de l'état ( \(r, r+3 k, j\) ) avec \(r, k\) et \(j\) des entiers naturels, montrer que l'on peut parvenir à un état fixe.
c) En déduire une condition suffisante sur l'état initial de la population pour pouvoir obtenir une population uniquement constituée de caméléons jaunes.
Cette condition est-elle aussi nécessaire?
3. On dit que la population est dans un état équilibré lorsqu'il y a autant de caméléons de chacune des trois couleurs.
a) Si un état ( \(r, v, j\) ) peut conduire à un état équilibré, que peut-on dire de \(r+v+j\) ?
b) Peut-on parvenir à un état équilibré à partir de l'état \((10,13,16)\) ? Justifier la réponse.
c) Peut-on parvenir à un état équilibré à partir de l'état \((14,15,16)\) ?

Justifier la réponse en donnant une condition nécessaire et suffisante portant sur un état initial ( \(r, v, j\) ) pour qu'il puisse conduire à un état équilibré