Sujet
Le squash est un sport de raquette. Parmi les règles existantes, une façon de comptabiliser les points pour le score est la suivante : les points sont attribués uniquement au joueur au service. S'il gagne l'échange il remporte le point, sinon il cède son service et le score reste inchangé. Chaque set est remporté par le premier des deux joueurs obtenant 9 points; toutefois si le score est de 8 à 8 , le joueur n'étant pas au service peut demander que le set se termine en 9 ou 10 points.
Si \(q\) est un réel tel que \(0 \[
\frac{1}{1-q}=1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}+\cdots
\] On définit les événements suivants : figure 1 b) Justifier que la probabilité qu'Adam marque un point est la somme des puissances impaires de 0.5 , c'est-à-dire : \(p=0,5+0,5^{3}+0,5^{5}+\cdots\)Première partie : Adam et Bob sont deux joueurs de même niveau
On suppose que le score entre Adam et Bob est de 8 à 8 . Les joueurs étant de même niveau, on peut supposer que chaque joueur a une probabilité identique, égale à 0,5 , de remporter un échange. On suppose qu'Adam possède le service à 8 partout.
\(A_{n}\) : «Adam marque le point en ayant servi \(n\) fois » ;
\(B_{n}\) : «Bob marque le point en ayant servi \(n\) fois » ;
\(C_{n}\) : « il y a changement de serveur une \(n\)-ième fois ».
c) En déduire que le serveur a, au début d'un échange, une probabilité de marquer le point égale à \(\frac{2}{3}\).
2. On souhaite désormais calculer la probabilité qu'Adam marque 2 points.
a) Recopier et compléter l'arbre de la figure 2 décrivant les différents scores possibles.
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