Exercice 2 — Jouer sans danger avec des allumettes

Sujet

Partie A

Deux amies, Corinne et Jeanine, jouent à un jeu dont le principe est le suivant :

• un certain nombre d'allumettes (que l'on notera \(n\) ) sont disposées sur une table ;
• les joueuses jouent à tour de rôle. Dans la situation étudiée, Corinne commence, Jeanine joue ensuite ;
• à chaque tour, chaque joueuse peut choisir de retirer du paquet soit une, soit deux, soit trois allumettes ;
• est déclarée vainqueur la joueuse retirant la dernière allumette.

Exemple de situation initiale du jeu lorsque \(n=15\)

1. Dans cette question uniquement, \(n=3\). Expliquer pourquoi, si elle joue bien, Corinne est sûre de gagner. On dira que dans ce cas, elle adopte une stratégie gagnante.
2. Dans cette question uniquement, \(n=4\). Montrer que, dans ce cas, Jeanine peut adopter une stratégie gagnante. Détailler cette stratégie.
3. Dans cette question uniquement, \(n=5\). Une des deux joueuses peut adopter une stratégie gagnante. Laquelle? Détailler alors la stratégie gagnante.
4. Reprendre la question 3 lorsque \(n=8\) et lorsque \(n=15\).
5. Soit \(n\) un entier naturel non nul. Discuter selon la valeur de \(n\) de l'existence d'une stratégie gagnante pour chacune des deux joueuses. Expliquer alors cette stratégie.

Partie B

Une variable du jeu précédent repose sur les règles suivantes :

• un certain nombre d'allumettes sont disposées sur une table en formant plusieurs rangées, le nombre d'allumettes de chaque rangée pouvant être différent ;
• les deux joueuses jouent à tour de rôle. Comme précédemment, Corinne commence, Jeanine joue ensuite ;
• à chaque tour, chaque joueuse peut choisir de retirer le nombre d'allumettes de son choix (au moins une), mais toutes les allumettes que l'on souhaite retirer doivent se trouver dans une même rangée;