Exercice 1 — Découpage de tissus

Sujet

Les parties \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\) et D peuvent être traitées indépendamment.
Thomas et Marie ont acheté des morceaux de tissu en forme de triangle rectangle. Dans ces tissus, ils veulent couper une pièce rectangulaire, en gaspillant le moins de tissu possible.

Partie A

Un premier morceau de tissu a la forme d'un triangle ABC rectangle en A et isocèle, tel que \(A B=1 \mathrm{~m}\). Thomas envisage d'y découper un carré dont un sommet est A et où deux autres sommets sont un point F du côté \([\mathrm{AC}]\) et un point D du côté \([\mathrm{AB}]\).

1. Thomas observe que s'il trace ainsi des carrés de tailles différentes \(A F E D\) et \(A F\) 'E' \(D\) ' où \(F\) et \(F\) ' sont des points de \([A C]\) et \(D\) et \(D\) ' des points de [AB], alors A, E et E' sont alignés. Démontrer ce résultat.
2. Marie lui fait remarquer « l'aire d'un carré est la moitié du carré de la longueur d'une de ses diagonales \(\gg\). Marie a-t-elle raison? Justifiez votre réponse.
   
3. Comment choisir le point E pour que le carré AFED tracé sur le morceau de tissu ait une aire la plus grande possible? Démontrer que cette aire est \(0,25 \mathrm{~m}^{2}\).

Partie B

Thomas s'interroge sur la possibilité d'obtenir à partir de ce morceau de tissu un carré d'aire supérieure en traçant un carré MNPQ où M et Q sont des points de [BC].

1. Thomas place d'abord M tel que \(C M=40 \mathrm{~cm}\). Déterminer la position de Q tel que le carré MNPQ soit tracé dans la pièce de tissu et ait une aire la plus grande possible que l'on déterminera.
2. Thomas essaie de tracer le carré en choisissant M tel que \(C M=\) 50 cm . Qu'observe-t-il? Calculer l'aire du carré d'aire maximale obtenu.
   
3. La méthode de la partie A ayant permis de tracer dans le triangle ABC un carré d'aire \(0,25 \mathrm{~m}^{2}\), est-il possible par cette méthode de tracer un carré d'aire supérieure?

Partie C