Exercice 3 — Énoncé — Olympiades 2015 Clermont Ferrand

Sujet

Jules a simplifié la fraction \(\frac{65}{66}\). Il explique à Julie : «c'est facile : je barre les 6 et j'obtiens \(\frac{5}{6}\) 》.
a) Le résultat est-il correct ?
b) Que pensez-vous de la démarche utilisée?
a) Prouver que, pour tous nombres réels \(a, b, c\) et \(d\) non nuls vérifiant la condition \(b+d \neq 0\) :

\[ \text { si } \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \text { alors } \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \text {. } \]

b) En utilisant a) et en remarquant que \(665=10 \times 65+15\) et que \(266=10 \times 26+6\), montrer que \(\frac{665}{266}=\frac{5}{2}\).
3. Julie affirme : « j'en déduis que \(\frac{66665}{26666}=\frac{5}{2}\) ». Expliquer sa démarche.
4. On admet, dans le cas général, que l'égalité \(\frac{66 \ldots 65}{26 \ldots 66}=\frac{5}{2}\) est vraie, le numérateur et le dénominateur de la première fraction comportant \(n\) fois le chiffre \(6, n\) étant un entier naturel non nul. Jules annonce alors à Julie : «en utilisant ce qui précède, je peux donner mentalement le quotient et le reste de la division euclidienne de \(66 \ldots 65\) par \(26 \ldots 66\), chacun des deux nombres comportant 2015 fois le chiffre \(6 \gg\). Est-ce vraisemblable?

a) Le résultat est correct puisque \(\frac{65}{26}=\frac{13 \times 5}{13 \times 2}=\frac{5}{2}\).
b) La démarche est incorrecte dans le cas général. Ainsi, par exemple, \(\frac{24}{32}=\frac{3}{4}\) et non pas \(\frac{4}{3}\) obtenu en barrant les 2 .
a) Étant donné \(a, b, c\) et \(d\) quatre nombres réels non nuls vérifiant la condition \(b+d \neq 0\) : si \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) alors \(a d=b c\) alors \(a d+c d=b c+c d\) alors \((a+c) \times d=(b+d) \times c\) alors \(\frac{a+c}{b+d}=\frac{c}{d}\) puisque \(b+d \neq 0\) et \(d \neq 0\). Finalement : \(\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\).
b) Comme \(665=10 \times 65+15\) et \(266=10 \times 26+6\), on a, d'une part \(\frac{65}{26}=\frac{10 \times 65}{10 \times 26}=\frac{650}{260}\) et \(\frac{15}{6}=\frac{5}{2}\), d'autre part \(\frac{65}{26}=\frac{5}{2}\). Donc \(\frac{650}{260}=\frac{15}{6}\). Les conditions sont requises pour utiliser la propriété démontrée à la question a). Donc \(\frac{650+15}{260+6}=\frac{15}{6}\) soit \(\frac{665}{266}=\frac{5}{2}\).