Exercice 2 — Petits cadeaux entre amis

Sujet

Voici une méthode assez classique pour organiser un échange de cadeaux au sein d'un groupe d'amis : on écrit le nom de chacun sur un petit papier, puis chaque participant tire un petit papier pour connaître l'identité de la personne à qui il sera chargé de faire un cadeau (le budget étant fixé à l'avance). Cette méthode, qu'on appellera ici « la méthode des petits papiers», présente au moins deux intérêts :

• personne n'est oublié ou lésé ;
• les dépenses de chacun restent limitées, car il n'a qu'un cadeau à faire.

Bien entendu, il se peut qu'au moins l'un des participants découvre son propre nom sur son petit papier. Dans ce cas, le tirage est déclaré invalide et l'on procède à un nouveau tirage.

Partie I: cas de trois amis

Pour un tel groupe d'amis, nommés \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) et C , le résultat d'un tirage peut être présenté sous la forme d'un tableau à deux lignes et trois colonnes, où la première ligne contient les noms des participants et la deuxième ligne, le nom de la personne à qui ce participant devra faire un cadeau.
Par exemple, le tableau donné ci-dessous indique que A doit faire un cadeau à C , que B doit faire un cadeau à A et que C doit faire un cadeau à B .

A	B	C
C	A	B

Remarquons que, si l'ordre des participants a été clairement indiqué, on peut même se passer de la première ligne du tableau. Dans notre exemple, on se contentera de noter : CAB.

1. Faire la liste de tous les tirages possibles dans un groupe de trois amis.
2. Préciser ceux qui sont valides.
3. En déduire la probabilité d'obtenir un tirage valide dans ce cas.

Partie II : cas de quatre amis

En procédant comme dans la partie I, déterminer la probabilité pour un groupe de quatre amis d'obtenir un tirage valide.

Partie III : une relation fondamentale

Dans la suite du problème, on notera \(V_{m}\) le nombre de tirages valides pour un groupe de \(m\) amis ( \(m\) étant un entier supérieur ou égal à 1).
Le groupe d'amis considéré est constitué de Paul, Julie et \(n\) autres personnes (avec \(n \geqslant 1\) ). Secrètement épris de Julie, Paul aimerait être celui qui lui fera un cadeau.

1. Quelle est la probabilité que ce soit le cas ?
2. Montrer qu'il y a \(V_{n}\) tirages valides pour lesquels Paul et Julie se font mutuellement un cadeau.
3. On admettra par ailleurs qu'il y a \(V_{n+1}\) tirages valides pour lesquels Paul fait un cadeau à Julie sans que cela soit réciproque. En déduire le nombre de tirages valides pour lesquels Paul fait un cadeau à Julie.