Exercice 1

Sujet

Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.
Voici la liste des nombres premiers inférieurs à 300 :
\(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109\), 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293.

Partie A

1. Pourquoi 1 n'est-il pas un nombre premier?
2. Pourquoi 2 est-il le seul nombre premier pair?

Partie B

On considère l'algorithme suivant :
Choisir un entier naturel
L'élever au carré
Ajouter au résultat le nombre de départ
Lui ajouter 11 Afficher le résultat obtenu.

1. a) Qu'affiche l'algorithme si le nombre choisi est 20 ?
   b) Qu'affiche l'algorithme si le nombre choisi est \(n\) ?
2. a) Quel nombre choisir pour obtenir 1417?
   b) L'algorithme peut-il afficher le nombre 100 ?
3. a) Vérifier que si on choisit un entier naturel compris entre 0 et 9 , alors le résultat affiché est un nombre premier.
   b) Si on choisit un entier naturel quelconque, le résultat affiché est-il toujours un nombre premier ?

Partie C

On appelle « nombre chanceux d'Euler », un nombre entier \(c(c \geqslant 2)\) tel que, pour tout entier \(n\) compris entre 0 et \(c-2, n^{2}+n+c\) soit un nombre premier.

1. Déterminer les nombres chanceux d'Euler inférieurs à 11.
2. a) Olympe affirme : « Si \(c\) est un nombre chanceux d'Euler alors \(c\) est un nombre premier ». Son affirmation est-elle vraie ou fausse?
   b) Énoncer la réciproque de l'implication précédente : cette réciproque est-elle vraie?
3. Il a été prouvé en 1967 qu'il existe exactement six nombres chanceux d'Euler. Sachant que le plus grand est 41 , quels sont ces six nombres?