Exercice 2

Sujet

Introduction : faire des calculs modulo \(p\)

Définition \(x+y=r\) modulo \(p\) où
    \(r\) est le reste dans la division euclidienne de \(x+y\) par \(p\),
    \(r\) est un entier et \(r \in\{0 ; 1 ; 2 ; \ldots ; p-1\}\)

Le résultat d'un calcul modulo \(p\) est un entier compris entre 0 et \(p-1\).

Comme Monsieur Jourdain qui disait de la prose sans le savoir, tout le monde sait calculer modulo 12.

Ainsi si l'aiguille indique 9 h sur un cadran de montre, 25 h plus tard elle indique 10 h .
\(9+25=34=12 \times 2+10\), ainsi 10 est le reste dans la division euclidienne de 34 par 12 .
Donc \(9+25=10\) modulo 12 .

1. Triangle de Steinhaus modulo 2 Dans cette partie, toutes les additions seront faites modulo 2 avec les quatre opérations possibles :
   \(0+0=0 \quad 1+0=1 \quad 0+1=1 \quad 1+1=0\).
   Définition et construction d'un triangle de Steinhaus modulo 2 de taille 5 par un exemple.
   On crée un triangle constitué de 0 et de 1 en deux étapes le la façon suivante :

• créer une première ligne avec 5 nombres 0 ou 1 ,
• calculer en additionnant modulo 2 , pour obtenir les lignes suivantes du triangle.
  

Ainsi, le triangle associé à 00101 est ci-contre.
Définition Un triangle est dit équilibré s'il contient autant de 0 que de 1 .
a) Le triangle de taille 6 modulo 2 associé à 001010 est-il équilibré ?
b) Trouver un triangle équilibré de taille 4 modulo 2 .
c) Dessiner tous les triangles de taille 3 modulo 2 et entourer ceux qui sont équilibrés.
d) Déterminer une formule qui donne le nombre de triangles modulo 2 de taille \(n\).
e) Déterminer toutes les valeurs de \(n\) pour lesquelles il est impossible de créer un triangle équilibré modulo 2 . On rédigera la conclusion ainsi :
«Il n'y a pas de triangle équilibré d'ordre \(n\) si \(n\) est de la forme . . . ou de la forme . . . ».
Un exemple de formulation : \(n\) est un carré parfait si \(n\) est de la forme \(n=k^{2}\) où \(k \in N\).
On rappelle la formule suivante : \(1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\).

2. Triangle de Steinhaus modulo \(\boldsymbol{p