Sujet
Un pont suspendu a une longueur de 144 m et les piliers mesurent 16 m . Le câble de retenue d'un pont suspendu présente la forme d'une parabole. Le point où le câble est le plus bas est au milieu du pont. Il est à une hauteur de 1 m au dessus du tablier.
- Déterminer une équation de la parabole que décrit le câble dans un repère judicieusement choisi.
2. Repérage de la zone dangereuse :
Les sous-pentes sont les tiges verticales reliant le tablier du pont au câble de retenue.Elles sont placées tous les mètres. La première étant placée 1 m après le premier pilier, la dernière à 1 m avant le deuxième pilier. On considère que le pont est dangereux dans la zone où les sous-pentes mesurent moins de 2 m . La zone dangereuse doit être équipée de caméras de surveillance.
Calculer l'étendue de la zone dangereuse.
3. Estimations la longueur du câble de retenue
a) Le calcul de la longueur exacte du câble dépasse nos compétences. On peut néanmoins l'estimer en « remplaçant » les deux arcs de paraboles qui mènent de A à S et de S à B par les segments [AS] et [SB].
Avec cette méthode, estimer la longueur du câble.
On peut obtenir une meilleure estimation en « remplaçant », entre chaque sous-pentes, l'arc de parabole par un segment.
b) Écrire un algorithme qui permet de calculer une valeur approchée de la longueur du câble avec cette méthode.
c) Programmer votre calculatrice pour donner cette estimation.
a) Calculer le triangle de Steinhaus de taille 5 modulo 5 associé à 22033 et vérifier qu'il est équilibré (c'est-à-dire qu'il contient autant de 0 , que de 1 , de 2 , de 3 et de 4 ).
b) On suppose qu'on a réussi à construire un triangle équilibré de taille \(n\), modulo \(p\). On fait la somme (en base 10 classique) des nombres dans le triangle (dans l'exemple précédent, on obtient 30). Déterminer une formule générale de cette somme en fonction de \(n\) et \(p\).
c) On ne sait pas démontrer (pour l'instant) qu'il existe une infinité de triangles équilibrés pour n'importe quelle valeur de \(p\).
Par contre on peut le démontrer facilement pour \(p=3\) en construisant des triangles de plus en plus grands «facilement».
Trouver les deux triangles de taille 3 équilibrés.
En déduire un triangle de taille 6 équilibré modulo 3 .
Construire alors un triangle de taille 9 équilibré modulo 3.