Exercice 3

Sujet

Soit \(k\) un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On dira qu'entier \(N\) est \(k\)-décomposable s'il peut s'écrire sous la forme d'une somme de \(k\) entiers naturels impairs consécutifs.

Par exemple : \(3+5+7+9=24\) est la somme de 4 entiers impairs consécutifs donc 24 est 4 -décomposable.

Partie A

1. Donner les cinq plus petits entiers naturels qui sont 2 -décomposables.

Un entier 2-décomposable peut-il être impair? Justifier.
Déterminer tous les nombres 2 -décomposables.
2. On note \(S\) la somme de 3 entiers impairs consécutifs et on désigne par \(x\) le plus petit d'entre eux. Exprimer \(S\) en fonction de \(x\).
2015 est-il 3-décomposable ? 1803 est-il 3-décomposable ? Justifier.

Partie B

On rappelle que pour tout entier naturel non nul \(n\),

\[ 1+2+3+\cdots+(n-1)=\frac{(n-1) n}{2} . \]

Soit \(k\) un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On désigne par \(N\) la somme de \(k\) entiers impairs consécutifs et par \(x\) le plus petit de ces entiers.

1. Démontrer que \(N=k(x+k-1)\).
2. En déduire que si \(k\) est pair alors tout entier \(k\)-décomposable est un multiple de 4 .
3. Démontrer que 2015 est 13 -décomposable.
4. Existe-t-il un entier \(k\) strictement supérieur à 13 tel que 2015 soit \(k\)-décomposable ? Justifier.