Sujet
ABCD est un carré de côté 1, (Q) est un quart de cercle de centre C et passant par B et D .
M est un point variable du segment \([\mathrm{AB}]\) distinct de A et B . Par le point M on trace la tangente à ( Q ) qui coupe le côté [AD] en N . Le point de contact de la tangente avec (Q) est nommé T.
On pose \(A M=x\) et \(A N=y\) avec \(0
- a) Démontrer les deux expressions de \(M N\) :
\[ \left\{\begin{array}{l} M N=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ M N=2-x-y \end{array}\right. \]
b) En déduire que \(y=2+\frac{2}{x-2}\).
2. En déduire la valeur de \(x\) pour laquelle la distance \(M N\) est minimale. Quelle est alors cette distance?
3. En déduire la valeur de \(x\) pour laquelle l'aire du triangle AMN est maximale. Quelle est alors cette aire?
- a) Le théorème de Pythagore dans le triangle AMN , rectangle en A , donne \(M N^{2}=x^{2}+y^{2}\) d'où \(M N=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\).
Comme \(C D=C T\), le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles CNT et CND donne :
\(T N^{2}=C N^{2}-C T^{2}=C N^{2}-C D^{2}=D N^{2}\). Donc \(T N=D N=1-A N=1-y\).
De même, \(T M=1-x\), donc \(M N=T N+T M=1-y+1-x=2-x-y\).
b) \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}=2-x-y\) donne \(x^{2}+y^{2}=(2-x-y)^{2}\). Après développement, élimination de \(x^{2}+y^{2}\) et simplification par 2, on obtient : \(2 x-2=y(x-2)\).
Comme \(x \in[0,1]\), on a \(x \neq 2\) et \(y=\frac{2 x-2}{x-2}=2+\frac{2}{x-2}\). - D'après \(1, M N=f(x)\) avec \(f(x)=2-x-y=2-x-2-\frac{2}{x-2}=-x-\frac{2}{x-2}\). \(f\) est dérivable sur \([0,1]\) et \(f^{\prime}(x)=-1+\frac{2}{(x-2)^{2}}=\frac{2-(x-2)^{2}}{(x-2)^{2}}=\frac{(\sqrt{2}-x+2)(\sqrt{2}+x-2}{(x-2)^{2}}\). On en déduit le