Sujet
Un sous ensemble \(\mathcal{E}\) de points du plan est dit pythagoricien s'il vérifie la propriété suivante :
Quelle que soit la façon dont on colorie les points de \(\mathcal{E}\) avec deux couleurs différentes, par exemple rouge et bleu, il existe au moins un triangle rectangle dont les sommets appartiennent à \(\mathcal{E}\) et qui soient de la même couleur.
On en déduit qu'un ensemble \(\mathcal{E}\) n'est pas pythagoricien s'il est possible de le colorier avec seulement deux couleurs sans qu'aucun triplet de points de \(\mathcal{E}\) formant les sommets d'un triangle rectangle ne soit de la même couleur. Un ensemble ne permettant de former aucun triangle rectangle n'est pas pythagoricien.
- Montrer que les quatre sommets d'un carré ne forment pas un ensemble pythagoricien.
- L'ensemble des points d'un cercle est-il pythagoricien?
- On se propose de montrer que l'ensemble \(\mathcal{F}\) formé par les points du contour d'un triangle équilatÃľral ABC est pythagoricien.
a) Soit K , L et M les points tels que :
\[ \overrightarrow{A L}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{B M}=\frac{1}{3} \overrightarrow{B A} \text { et } \overrightarrow{C K}=\frac{1}{3} \overrightarrow{C B} . \]
Montrer que les triangles BKM, AML et CLK sont rectangles respectivement en M, L et K.
b) Justifier que deux au moins des points K, L, M sont de la même couleur.
On supposera par la suite que cette couleur est rouge et que K et L
sont rouges.
c) En supposant que \(\mathcal{F}\) n'est pas pythagoricien, montrer que l'on aboutit à une contradiction. Conclure.
4. ABCD est un rectangle, \(\mathrm{E}, \mathrm{F}, \mathrm{G}\) et H sont les milieux des segments \([\mathrm{AB}]\), [BC], [CD] et [DA].
a) Montrer que l'ensemble formé par ces 8 points est pythagoricien. On pourra supposer que A est rouge.
b) En déduire que l'ensemble formé par les points du contour d'un rectangle est pythagoricien.
- Si on colorie alternativement les sommets en rouge et en bleu, on ne peut former aucun triangle rectangle dont les sommets ont la même couleur.
- En coloriant un demi-cercle d'extrémités A et B en rouge et le demi-cercle restant en bleu, le point A étant rouge et le point B bleu, deux points diamétralement opposés sont toujours de couleurs différentes et on ne peut donc pas tracer un triangle rectangle dont les sommets sont sur le cercle et coloriés de la même couleur car deux des sommets sont nécessairement diamétralement opposés.