Olympiades · Académie Besançon · 2015 · Toutes séries
ArithmétiqueDénombrement
Gaston a disposé sur le gâteau d'anniversaire de son grand-père des bougies rouges et des bougies bleues. Le nombre de bougies rouges est le chiffre des dizaines dans l'âge du grand-père et celui des bougies bleues le chiffre des unités dans l'âge du grand-pére. Toutes les bougies durent un nombre entier de minutes mais les bougies rouges durent plus longtemps que les bleues.
On allume simultanément toutes les bougies et on remplace chaque bougie qui s'éteint par une bougie neuve identique qu'on rallume immédiatement.
Au bout d'une heure et quart, alors qu'on a changé 174 bougies, toutes s'éteignent en même temps et on fait remarquer que ce n'est pas nécessairement la première fois cela se produit.
On cherche à déterminer l'âge du grand-père de Gaston.
On admet les deux propriétés suivantes :
propriété 1 : Soient \(A, B, C\) des nombres entiers et \(D\) le PGCD (plus grand diviseur commun) de \(A\) et \(B\). On peut trouver deux nombres entiers \(U\) et \(V\) tels que \(A U+B V=C\) si, et seulement si \(C\) est un multiple de \(D\).
propriété 2 : Soient \(A\) et \(B\) deux nombres premiers entre eux. Soit \(U_{0}\) et \(V_{0}\) deux nombres entiers tels que \(A U_{0}+B V_{0}=C\). Il existe une infinité de nombres entiers \(U\) et \(V\) tels que \(A U+B V =C\). Ils s'écrivent tous sous la forme \(U=U_{0}+B k\) et \(V=V_{0}-A k\) où \(k\) est un nombre entier relatif.
En utilisant les deux propriétés ci-dessus, recopier et compléter le tableau suivant :
| ( \(c_{r} ; c_{b}\) ) | Relation de départ | Solution (oui ou non) | Relation simplifiée | ( \(\mathrm{U}_{0} ; \mathrm{V}_{0}\) ) | Solution sous la forme ( \(U_{0}+B k ; V_{0}-A k\) ) | Valeurs possibles de \(k\) |
| (2;4) | ...\(=174\) | oui | \(\ldots=87\) | (87; 0) | ⋯ | aucune |
| ⋯ | … | … | ⋯ | … | ⋯ | ⋯ |
La durée de chaque bougie étant un nombre entier de minutes, les nombres \(c_{r}+1\) et \(c_{b}+1\) sont des diviseurs de 75 .
b) La liste des diviseurs de 75 est \(\{1 ; 3 ; 5 ; 15 ; 25 ; 75\}\).
Comme \(0
Variables : r et b entiers naturels
Traitement : Pour r allant de 1 à 9
Pour b allant de 0 à 9
Si 2r + 4b = 174 alors
Afficher r
Afficher b
Fin de Si
Fin de Pour
Fin de Pour
5.
| ( \(c_{r} ; c_{b}\) ) | Relation de départ | Solution (oui ou non) | Relation simplifiée | Solution particulière ( \(\mathrm{U}_{0} ; \mathrm{V}_{0}\) ) de l'équation simplifiée | Solution sous la forme \(\left(U_{0}+B k ; V_{0}-A k\right)\) | Valeurs possibles de \(k\) |
| (2;4) | \(2 r+4 b=174\) | oui | \(r+2 b=87\) | (87; 0) | \((87+2 k ; 0-k)\) | aucune |
| (2; 14) | \(2 r+14 b=174\) | oui | \(r+7 b=87\) | (87; 0) | \((87+7 k ; 0-k)\) | aucune |
| (2; 24) | \(2 r+24 b=174\) | oui | \(r+12 b=87\) | (87; 0) | \((87+15 k ; 0-k)\) | \(k=-7\) |
| (2; 74) | \(2 r+74 b=174\) | oui | \(r+37 b=87\) | (87; 0) | \((87+37 k ; 0-k)\) | aucune |
| (4; 14) | \(4 r+14 b=174\) | oui | \(2 r+7 b=87\) | (40; 1) | \((40+7 k ; 1-2 k)\) | aucune |
| (4;24) | \(4 r+24 b=174\) | non | \(2 r+12 b=87\) | aucune | ||
| (4; 74) | \(4 r+74 b=174\) | oui | \(2 r+37 b=87\) | (25; 1) | \((25+37 k ; 1-2 k)\) | aucune |
| (14; 24) | \(14 r+24 b=174\) | oui | \(7 r+12 b=87\) | \((9 ; 2)\) | \((9+12 k ; 2-7 k)\) | \(k=0\) |
| (17; 747) | \(14 r+74 b=174\) | oui | \(7 r+37 b=87\) | (23; -2) | \((23+37 k ;-2-7 k)\) | aucune |
| 24 ; 74) | \(24 r+74 b=174\) | oui | \(12 r+37 b=87\) | (-2; 3) | ( \(-2+37 k ; 3-12 k\) ) | aucune |