Exercice 2 — Homothéties

Sujet

L'unité est le centimètre. Soit O un point du plan et \(k\) un nombre réel non nul. On appelle homothétie de centre \(\mathbf{O}\) et de rapport \(k\) la transformation qui, à tout point M du plan, fait correspondre le point \(\mathrm{M}^{\prime}\) tel que \(\overrightarrow{O M^{\prime}}=k \overrightarrow{O M}\).

Partie A

1. Que peut-on dire d'une homothétie de rapport 1 ?
2. Soient O et M deux points distincts du plan.
   a) Construire le point M', image du point M, par l'homothétie de centre O et de rapport -1 . A quelle transformation usuelle correspond cette homothétie?
   b) Construire le point N image du point M par l'homothétie de centre O et de rapport 2 .
   c) Construire le point P image du point M par l'homothétie de centre O et de rapport \(-\frac{1}{2}\).
3. Soit ABCD un trapèze de bases \([\mathrm{AB}]\) et \([\mathrm{CD}]\) tel que \(A B=2\) et \(C D=5\).

On admet qu'il existe une unique homothétie qui transforme A en D et B en C . Déterminer le centre O et le rapport \(k\) de cette homothétie.
4. Un point fixe par une homothétie est un point qui est confondu avec son image par cette homothétie. Discuter, selon les valeurs de \(k\), l'existence et le nombre de points fixes par une homothétie.

Partie B - Quelques propriétés

Sooient M et N deux points distincts du plan. On note M' et N' leurs images respectives par une homothétie de centre O et de rapport \(k\).

1. Montrer que \(\overrightarrow{M^{\prime} N^{\prime}}=k \overrightarrow{M N}\)
2. En déduire l'expression de la longueur \(M^{\prime} N^{\prime}\) en fonction de la longueur \(M N\) et de \(k\).
3. Montrer qu'une homothétie conserve l'alignement (c'est-à-dire que les images de trois points alignés sont trois points alignés).
4. Démontrer que l'image d'une droite par une homothétie est une droite parallèle à la droite de départ.
5. Soit \(\mathrm{O}^{\prime}\) un point du plan distinct de O et \(k^{\prime}\) un réel non nul. On note \(h\) (respectivement \(h^{\prime}\) ), l'homothétie de centre O (respectivement \(\mathrm{O}^{\prime}\) ) et de rapport \(k\) (respectivement \(k^{\prime}\) ). On suppose que \(k \neq 1\) et \(k^{\prime} \neq 1\).
   On note \(h^{\prime} \circ h\) l'application qui, à tout point M du plan, fait correspondre le point \(h^{\prime}(h(M))\).
   a) Quelle est la nature de l'application \(h^{\prime} \circ h\) si \(k k^{\prime}=1\) ?
   b) Dans cette question, on suppose que \(k k^{\prime} \neq 1\).

Montrer que l'application \(h^{\prime} \circ h\) possède un unique point fixe \(\mathrm{O}^{\prime \prime}\) qui se trouve sur la droite ( \(\mathrm{OO}^{\prime}\) ).
En déduire que \(h^{\prime} \circ h\) est une homothétie de rapport \(k k^{\prime}\).