Exercice 1 — L'ascenseur

Sujet

Suite à un problème technique, un seul ascenseur est encore en service dans un immeuble de 50 étages.
Cet ascenseur fonctionne ainsi :

• Il descend ou monte un étage en 3 secondes.
• Chaque arrêt à un étage dure 15 secondes.
• Pour des raisons de sécurité, au maximum 10 personnes peuvent se trouver simultanément dans l'ascenseur.
• Lorsque l'ascenseur est vide et que des personnes l'appellent simultanément, l'étage auquel il s'arrête en premier est choisi de manière aléatoire. Ensuite chaque personne qui monte dans l'ascenseur sélectionne l'étage où elle souhaite se rendre, qui est un nombre entier compris entre 0 (Rez-de-chaussée : RDC) et 50. L'ascenseur satisfait toujours le premier ordre qui lui est donné.
• Lorsque l'ascenseur, en charge, se rend d'un étage à un autre, si des personnes qui se trouvent entre ces deux étages souhaitent descendre ou monter dans l'ascenseur, celui-ci s'arrête et reprend l'itinéraire programmé.
  Par exemple, si deux personnes qui se trouvent respectivement aux étages 10 et 13 appellent l'ascenseur qui est vide à l'étage 50 pour se rendre au RDC, les itinéraires possibles sont :
• 50-13-10-0
• 50-10-0-13-0

1. Une personne monte dans l'ascenseur, initialement vide, à l'étage 15 pour se rendre au RDC. Quand l'ascenseur redémarre, une personne située à l'étage 10 et une autre à l'étage 28 appellent l'ascenseur pour se rendre elles aussi au RDC.
   Justifier que le temps écoulé entre le redémarrage de l'ascenseur à l'étage 15 et le moment où les trois personnes sont parvenues au rez-de-chaussée est de 4 min 18 sec.
2. L'ascenseur est au RDC et vide. Trois personnes situées respectivement aux étages 8, 23 et 38 souhaitent descendre au rez-de-chaussée.
   a) Les trois personnes appellent simultanément l'ascenseur. Donner tous les itinéraires possibles pour l'ascenseur ainsi que la durée de chacun d'eux (en minutes et secondes).
   b) La personne de l'étage 38 décide d'emprunter les escaliers. Deux étages successifs sont séparés par 20 marches. Si cette personne est très sportive, elle peut espérer descendre 15 marches toutes les 5 secondes et franchir chaque palier en 2 secondes. Sinon, elle descend 2 marches par seconde et franchit chaque palier en 5 secondes.
   Dans chacun des cas (personne à l'étage 38 très sportive ou non), calculer la probabilité que cette personne mette moins de temps à descendre à pied qu'en ascenseur.
3. À chacun des étages \(30,35,40,45\), et 50 trois personnes attendent l'ascenseur pour descendre 20 étages, c'est-à-dire pour se rendre respectivement aux étages 10, 15, 20, 25, 30. L'ascenseur, vide au départ, embarque d'abord les personnes de l'étage 50 .
   Quelle durée minimum faut-il aux personnes qui attendent à l'étage 35 pour atteindre l'étage 15 ? Préciser alors l'itinéraire de l'ascenseur.