Sujet
Dans un conteneur, assimilé à un pavé droit, on place quatre bobines (assimilées à des cylindres) : deux grosses et deux petites.
Les deux grosses bobines ont un rayon de deux mètres, les deux petites ont un rayon d'un mètre.
Afin d'utiliser au mieux le conteneur, on cherche à obtenir la configuration suivante :
Les deux petites bobines se touchent et touchent chacune une paroi verticale du conteneur.
Chacune des grosses bobines touche les deux petites, ainsi que trois parois verticales du conteneur.
On considère une vue en coupe du conteneur et des quatre bobines, dans un plan horizontal et l'on se trouve ramené au problème suivant :
Un rectangle ABCD contient quatre cercles \(C_{1}, C_{2}, C_{3}\) et \(C_{4}\).
On note \(\mathrm{O}_{1}\) le centre de \(C_{1}\) et \(\mathrm{O}_{2}\) le centre de \(C_{2}\).
\(C_{1}\) et \(C_{2}\) ont pour rayon 2. \(C_{3}\) et \(C_{4}\) ont pour rayon 1.
\(C_{1}\) est tangent à [AB],[AD],[CD], \(C_{3}\) et \(C_{4}\).
\(C_{2}\) est tangent à [AB], [BC], [CD], \(C_{3}\) et \(C_{4}\).
\(C_{3}\) est tangent à [AB] et \(C_{4}\) est tangent à [CD].
\(C_{3}\) et \(C_{4}\) sont tangents à \(\left[\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}\right]\) en O , centre de ABCD .
Les cercles \(C_{1}\) et \(C_{2}\) sont représentés sur l'esquisse ci-dessous.
N.B. : Les proportions de l'esquisse ne sont pas exactes, mais sont suffisamment précises pour permettre un tracé approximatif de \(C_{3}\) et \(C_{4}\).
- Calculer la distance \(O_{1} O_{2}\).
- Calculer le rapport \(\frac{A D}{A B}\).
- On note E le point où \(C_{1}\) est tangent à \([\mathrm{CD}]\) et F le point oû \(C_{1}\) est tangent à \(C_{4}\).
Montrer que E, F et O sont alignés.
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