Exercice 4 — Énoncé — Olympiades 2015 Amiens

Sujet

Vérifier que \(10^{2}+11^{2}+12^{2}=13^{2}+14^{2}\)
Existe-t-il d'autres séries de 5 entiers naturels consécutifs tels que la somme des carrés des deux plus grands soit égale à la somme des carrés des plus petits?

\(10^{2}+11^{2}+12^{2}=13^{2}+14^{2}=365\).
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égalm à 2 .

On résout \((n-2)^{2}+(n-1)^{2}+n^{2}=(n+1)^{+}(n+2)^{2}\)
\(\Leftrightarrow n^{2}-4 n+4+n^{2}-2 n+1+n^{2}=n^{2}+2 n+1+n^{2}+4 n+4\)
\(\Leftrightarrow 3 n^{2}-6 n+5=2 n^{2}+6 n+5\)
\(\Leftrightarrow n^{2}-12 n=0\)
\(\Leftrightarrow n(n-12)=0\)
\(\Leftrightarrow n=0\) ou \(n=12\).
\(n=0\) est impossible et \(n=12\) correspond à la série du 1 .
Il n'existe donc pas d'autre série possible.