Sujet
Le jeu de Sperner oppose deux joueurs, que l'on appellera ici Joueur 1 et Joueur 2.
Construction du plateau de jeu.
Une des particularités de ce jeu, c'est que son plateau est entièrement conçu par l'un des joueurs, disons ici le joueur 1.On commence par tracer un grand triangle appalé triangle initial. Dans toute la suite, on appellera mini-triangle tout triangle contenu dans le triangle initial mais ne contenant pas d'autre triangle.
- On choisit un des mini-triangles (au début, il n'y a donc qu'un seul choix possible, c'est le triangle initial).
- Dans le mini-triangle choisi, on place un point. Ce point peut éventuellement être sur l'un des côtés du mini-triangle, mais uniquement si le côté en question est l'un des côtés du triangle initial.
- On utilise le point ainsi placé pour séparer le mini-triangle choisi en plusieurs mini-triangles, en reliant le point aux sommets du mini-triangle.
Voici les étapes de construction d'un exemple de plateau de jeu :
Après avoir construit le plateau, place au jeu !
Après que le joueur 1 a fini de construire le plateau, le joueur 1 colorie les trois sommets du triangle initial avec trois couleurs différentes, ici blanc, gris et noir. Ensuite, les joueurs colorient à tour de rôle les sommets des mini-triangles, en commençant par le joueur 2, et en respectant la règle suivante :Les sommets situés sur un des côtés du triangle initial ne peuvent être coloriés que de l'une des deux couleurs situées aux extrémités de ce côté.
Par exemple, sur le côté du triangle initial dont l'une des extrémités est blanche et l'autre grise, on ne peut mettre que du blanc ou du gris. Par contre, pour colorier les points situés à l'intérieur du triangle initial, il n'y a aucune règle : on peut utiliser n'importe laquelle des trois couleurs (blanc, gris, noir).
a) C'est le joueur 2 qui a gagné.
b) C'est toujours le joueur 2 qui gagne. . .
c) Les portes sont en rouge, les chemins en bleu :
d) La façade avant peut être construite ainsi : on trace un grand segment dont on colorie une des extrémités en gris et l'autre en blanc (à cette étape, il n'y a donc qu'une seule porte), puis on ajoute des points sur ce segment, coloriés en gris ou en blanc. Or chaque nouveau point ajoute 0 ou 2 portes. Le nombre final de portes est donc de même parité que le nombre de portes initial, c'est-à-dire 1 : le nombre de portes sur la façade avant est donc impair.
On peut aussi parcourir la façade de gauche à droite et observer les changements de couleur : si on suppose qu'il y a un nombre pair de portes, c'est que le nombre de changements de couleurs est pair. La couleur obtenue à l'extrémité droite de la façade est donc la même que l'extrémité gauche, ce qui contredit l'énoncé.
e) On suppose qu'aucun des mini-triangles ne contient les trois couleurs.
i. Si on peut entrer dans une pièce, c'est qu'un des sommets est blanc et l'autre gris, ce qui donne une première porte. Mais comme aucune pièce ne contient les 3 couleurs, le troisième sommet est blanc ou gris, ce qui donne dans tous les cas une autre porte. Ainsi, quand on entre dans une pièce par une porte, il n'y a qu'une seule autre porte de sortie.
ii. En entrant dans la maison, on visite une suite de pièces différentes les unes des autres, jusqu'à sortir de la maison, ce qui arrivera nécessairement car la maison contient un nombre fini de pièces.
De plus, en entrant dans une pièce, il n'y a qu'une façon d'en sortir : les chemins ne comportent donc pas de bifurcation, ainsi chaque porte de la façade conduit à une et une seule autre porte de la façade.
iii. Le nombre de portes sur la façade avant est pair : contradiction avec la question 3.b) !
iv. Les questions précédentes montrent que la maison contient toujours une pièce avec les trois couleurs. Ainsi, c'est toujours le joueur 2 qui gagne.
