Sujet
Liam, 4 ans, a reçu pour son anniversaire une petite boite de briques Elgo.
La boite contient 20 briques, toutes de dimension \(8 \times 17 \times 35\) (en mm).
Il dispose les briques de façon à constituer un «train», en se souciant seulement d'aligner les faces devant lui. Par exemple :
- a) Combien de trains différents peut-il faire avec 2 briques?
b) Quelles sont toutes les longueurs possibles d'un train constitué seulement de deux briques? - Combien de trains différents Liam peut-il faire avec 5 briques?
- Est-il possible de construire un train de 7 briques de \(14,6 \mathrm{~cm}\) de longueur?
- Dan, le petit frère de Liam, joue avec les briques et en perd un certain nombre. Avec toutes les briques restantes, Liam construit un train d'exactement 29 cm de long sans jamais avoir utilisé la dimension de 17 mm .
Combien Dan a-t-il perdu de briques Elgo?
- a) Il y a trois dimensions possibles pour chaque brique. Il y a donc 9 résultats possibles :
| \(8+8=16\) | \(8+17=25\) | \(8+35=43\) |
| \(17+8=25\) | \(17+17=34\) | \(17+35=52\) |
| \(35+8=43\) | \(35+17=52\) | \(35+35=70\) |
b) Finalement, les 6 longueurs possibles sont : \(16 \mathrm{~mm}, 25 \mathrm{~mm}, 34 \mathrm{~mm}, 43 \mathrm{~mm}, 52 \mathrm{~mm}\) et 70 mm .
2. On peut disposer 5 briques de \(3^{5}=243\) façons différentes.
3. Soit \(a\) le nombre de briques allongeant le train de 35 mm .
Si \(a=0\), le train le plus long qu'on puisse faire mesure \(7 \times 17=119 \mathrm{~mm}\). Impossible.
Si \(a=1\), le train le plus long mesure \(35+6 \times 17=137 \mathrm{~mm}\). Impossible.
Si \(a=2\) et si on dispose cinq briques sur la tranche de 17 mm , le train mesure
\[ 2 \times 35+5 \times 17=155 \mathrm{~mm} . \]