Sujet
Partie A
Ci-dessous est représenté dans un repère l'ensemble des points dont le couple ( \(x, y\) ) de coordonnées vérifie la relation \(x^{2}-2 y^{2}=1\). On s'intéresse plus particulièrement aux points de cette courbe dont les coordonnées sont des entiers comme par exemple le point A dont le couple de coordonnées est \((1,0)\).
- Donner cinq autres couples d'entiers \((x, y)\) tels que \(x^{2}-2 y^{2}=1\).
- Soit \(a\) et \(b\) des entiers naturels. On pose \(A=a+2 b\) et \(B=a+b\). Exprimer \(A^{2}-2 B^{2}\) en fonction de \(a^{2}-2 b^{2}\). Donner un nouveau couple d'entiers ( \(x, y\) ) solution de l'équation \(x^{2}-2 y^{2}=1\) tel que \(x>10\).
- Rédiger un algorithme affichant le premier couple d'entiers ( \(x, y\) ) solution de l'équation \(x^{2}-2 y^{2}=1\) et tel que \(x>2015\). Quel est le couple obtenu?
Partie B
On rappelle l'égalité valable pour tout entier naturel non nul \(n: 1+2+\cdots n=\frac{n(n+1)}{2}\).- On dit qu'un entier naturel \(n\) strictement supérieur à 3 est délicieux s'il existe un entier \(k\) compris entre 1 et \(n\) tel que : \(1+2+\cdots+(k-1)=(k+1)+(k+2)+\cdots+n\).
a) Trouver le plus petit entier délicieux (on pourra remarquer que \(n^{2}+n=\frac{(2 n+1)^{2}-1}{4}\)
b) Trouver un entier délicieux supérieur à 1007 . - On dit qu'un entier naturel \(n\) est équilibré s'il existe un entier \(p\) compris entre 1 et \(n\) tel que :
\[ 1+2+\cdots+p=(p+1)+(p+2)+\cdots+n . \]
a) Trouver le plus petit entier équilibré.
b) Trouver un entier équilibré supérieur à 1007.
3. Existe-t-il des entiers à la fois délicieux et équilibrés?
Partie A
- La lecture du graphique fournit les couples \((1,0),(3,2),(3,2),(3,2)\) et \((3,2)\). On vérifie par le calcul que ces couples sont bien solutions de l'équation.
- Calculons :
\[ \begin{aligned} & A^{2}-2 B^{2}=(a+2 b)^{2}-2(a+b)^{2} \\ & A^{2}-2 B^{2}=2 b^{2}-a^{2} \\ & A^{2}-2 B^{2}=-\left(a^{2}-2 b^{2}\right) . \end{aligned} \]
Cette égalité fournit un moyen de trouver des couples solution à partir d'autres couples solution. Par exemple, à partir du couple ( 3,2 ), en utilisant les formules de transformation proposées, on trouve \((7,5)\), qui n'est pas une solution, puis \((17,12)\) dont on vérifie qu'il en est une.
3. Pour cette question, beaucoup de réponses sont acceptables : l'algorithme peut être rédigé dans une calculatrice, dont on reproduira l'écran, on dans un langage plus ou moins élaboré.
On peut faire du pas à pas : une variable entier naturel \(X\), de valeur initiale 1, est incrémentée de 1 à chaque nouveau tour d'une boucle For à l'intérieur de laquelle une autre boucle fait varier \(Y\) de 0 à \(X\). L'arrêt est demandé à la première valeur de \(X\) supérieure à 2015 et qui fournit une solution en ( \(X, Y\) ).
On peut utiliser la relation qui fournit des solutions à partir d'autres solutions. À partir de (0, 1), on effectue des boucles qui font passer de \((X, Y)\) à \((3 X+4 Y, 2 X+3 Y)\) Tant que \(X \leqslant 2015\).
Le couple obtenu est (3 363, 2 378).
Partie B
- On peut exprimer autrement les sommes entrant en jeu dans l'égalité proposée :
\(1+2+3+\cdots+(k-1)+k=\frac{k(k-1)}{2}\) et \((k+1)+(k+2)+\cdots+(n-1)+n=\frac{n(n+1}{2}-\frac{k(k+1)}{2}\)
On cherche donc s'il existe \(k\) tel que \(\frac{k(k-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}-\frac{k(k+1)}{2}\), c'est-à-dire \(k^{2}=\frac{n(n+1)}{2}\). Avec l'indication donnée par l'énoncé, l'équation en \(k\) s'écrit :
\[ (2 n+1)^{2}-1=2(2 k)^{2}, \text { ou encore }(2 n+1)^{2}-2(2 k)^{2}=1 . \]
Les nombres délicieux sont donc les entiers \(n\) tels que ( \(2 n+1\) ) soit la première projection d'un couple solution de l'équation posée dans la PARTIE A. Le plus petit délicieux est 8 (qui donne le couple \((17,12)\).
2. Un entier délicieux supérieur à 1007 correspond à un couple solution dont la première projection est supérieure à 2015 . On connaît un tel couple, ( 3363,2378 ), qui fournit 1681 , entier délicieux supérieur à 1007 .
3. Comme précédemment, on écrit l'équation en \(p: \frac{p(p+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}-\frac{p(p+1)}{2}\), qui s'écrit encore : \(n(n+1)=2 p(p+1)\).
Et finalement : \((2 n+1)^{2}-2(2 p+1)^{2}=-1\).
La transformation faisant passer de ( \(X, Y\) ) à ( \(3 X+4 Y, 2 X+3 Y\) ) fournit des solutions de l'équation \(x^{2}-2 y^{2}=1\). Le couple solution \((8119,5741)\) fournit le nombre équilibré 4059.
Deuxième exercice
Toutes sériesDécoupage d'un échiquier
Énoncé
On dispose d'un échiquier standard \(8 \times 8\) dont les cases (chacune représente une unité d'aire) sont, sur chaque ligne et chaque colonne, alternativement noires et blanches. On désire partager cet échiquier en rectangles, chacun composé d'un certain nombre de cases en respectant de plus les deux contraintes suivantes : chaque rectangle doit comporter autant de cases blanches que de cases noires et les aires de tous les rectangles doivent être différentes. L'exemple ci-dessous montre un tel découpage avec quatre rectangles.
Le but est de déterminer la valeur maximale du nombre de rectangles que l'on peut ainsi construire et de préciser dans chaque cas rencontré un partage possible.
- Proposer un exemple de découpage avec 5 rectangles, respectant ces contraintes. On note \(n\) le nombre de rectangles d'un découpage et \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\) le nombre de cases blanches de ces différents rectangles.
- Prouver que l'aire de chaque rectangle est toujours paire.
- Justifier que les \(a_{i}\) sont tous différents et que \(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=32\).
On peut donc supposer que les \(a_{i}\) sont classés, donc que l'on a : \(a_{1}
On suppose désormais que \(n=7\).
5. Justifier que \(7 \leqslant a_{7} \leqslant 10\).
6. a) Prouver que \(a_{1}=1, a_{2}=2\) et \(a_{3}=3\).
b) Prouver que le cas \(a_{7}=7\) est impossible.
7. Déterminer les valeurs de \(a_{4}, a_{5}, a_{6}\) et \(a_{7}\) qui sont envisageables et présenter les résultats dans un tableau.
8. Proposer pour tous les cas possibles un découpage et répondre au problème posé.