Sujet
Un touriste a fait glisser le grand tapis rectangulaire du grand salon du château. Le tapis s'est retrouvé les coins contre les murs, comme sur la figure ci-contre (qui représente la situation, non la réalité).
Le salon est rectangulaire. Ses dimensions sont 11 m pour le côté \([\mathrm{AB}]\) et 10 m pour le côté [BC]. Un des coins du tapis s'est retrouvé exactement au bas de l'huisserie d'une porte, situé à 4 m du point A du côté [AD].
Le tapis recouvre moins de la moitié de la surface du salon.
Quelles sont ses dimensions?
Notons \(x\) la distance \(H B\).
Les triangles HBG et EAH sont rectangles respectivement en B et A, et ils ont les mêmes angles aigus.
Les tangentes des angles \(\widehat{B G H}\) et \(\widehat{A H E}\) sont égales
\[ \frac{x}{6}=\frac{4}{11-x} . \]
Cette égalité se traduit par une équation du second degré dont les solutions sont 3 et 8 .
La somme des aires des quatre triangles rectangles deux à deux superposables est \(50 \mathrm{~m}^{2}\) dans l'hypothèse \(x=3\), elle est \(60 \mathrm{~m}^{2}\) dans l'hypothèse \(x=8\). C'est ce dernier résultat qu'il faut retenir, le tapis recouvrant moins de la moitié de la surface au sol.
Compte tenu de la qualité des copies qui lui ont été soumises, le jury a décidé de publier depuis 2 ans, outre le palmarès national, la liste des 51 candidates et candidats dont la copie a été retenue pour la discussion finale mais non primée, et la liste de 54 candidates et candidats dont la copie a été transmise au jury national par les jurys académiques, mais non retenue pour la discussion finale. Ces listes sont disponibles sur le site d'Animath (\href{http://www.animath.fr}{www.animath.fr}) et sur le site Eduscol (\href{http://eduscol.education.fr}{eduscol.education.fr})