Exercice 4 — Les cases rouges

Sujet

On se donne un nombre entier \(n\) supérieur ou égal à 2 .
Dans chacune des cases d'un tableau à \(n\) lignes et \(n\) colonnes, on place un des nombres entiers compris entre 1 et \(n\), de sorte que chaque ligne contient une et une seule fois chacun de ces nombres, et chaque colonne contient une et une seule fois chacun de ces nombres.
On numérote les colonnes, de gauche à droite, de 1 à \(n\), et on colorie en rouge chaque case qui contient un nombre strictement plus grand que le numéro de sa colonne.

1. Dans cette question, on considère le cas singulier \(n=7\).

Donner un exemple de tableau dans lequel on ne peut pas trouver deux lignes contenant le même nombre de cases rouges.
2. Prouver que, pour tout tableau construit selon la règle énoncée ci-dessus :
a) Il est impossible qu'une ligne ne contienne que des cases rouges ;
b) Il est impossible que deux lignes ne contiennent aucune case rouge.
3. On voudrait remplir le tableau - en respectant la règle - de telle sorte que toutes les lignes contiennent le même nombre de cases rouges.
a) Donner un exemple d'une telle réalisation dans le cas \(n=7\).
b) Prouver que c'est impossible pour \(n=2014\).