Exercice 3 — Énoncé — Olympiades 2014 Versailles

Sujet

Mon lycée a le sens de l'innovation. Pour désigner un délégué parmi les élèves de ma classe, chaque électeur est invité à classer dans l'ordre de ses préférences les trois candidats, Ali, Bela et Caro. Lors du dépouillement, 1 point est attribué au candidat classé premier, deux points au deuxième et quatre points au troisième. On fait le total et le candidat ayant le score le plus faible est déclaré élu. Ali obtient 44 points. Il est déclaré élu, alors que 4 élèves seulement l'ont classé premier. Caro obtient 45 points. Elle est celle que les électeurs ont classée le plus souvent en première position. Bela obtient 51 points. Il est celui que les électeurs ont classé le plus souvent troisième.

Combien y a-t-il eu de votants?
Combien de fois les électeurs ont-ils classé Caro en première position? En deuxième?

Le total des points obtenus par les trois candidats est le produit du nombre de votants par 7, chaque votant ayant attribué 7 points. Il y avait donc 20 votants.
Ali a été classé 4 fois premier. Si on note \(x\) le nombre de fois qu'Ali a été classé deuxième et \(y\) le nombre de fois qu'il a été classe troisième, on a : \(2 x+4 y=40\), c'est-à-dire \(x+2 y=20\). Compte tenu du nombre de votants, on a aussi \(x+y=16\). Il s'ensuit que \(y=4\) et \(x=12\). Ali a été classé 12 fois deuxième et 4 fois troisième.
Caro a été classée le plus souvent première, et elle l'a été un nombre impair de fois, puisque son total est impair, et un nombre de fois supérieur à 7 puisqu'elle l'a été le plus souvent. Faisons dans chacune des hypothèses le même raisonnement que pour Ali. On appelle cette fois \(a\) le nombre de fois que Caro a été classée deuxième et \(b\) le nombre de fois qu'elle a été classée troisième ( \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels ) :

Nbre de \(1{ }^{\text {ère }}\) places pour Caro	9	11	13	15
Equation sur le total des points obtenus	\(a+2 b=18\)	\(a+2 b=17\)	\(a+2 b=16\)	\(a+2 b=15\)
Equation sur le total des votants	\(a+b=11\)	\(a+b=9\)	\(a+b=7\)	\(a+b=5\)
Nbre de \(3^{\text {ème }}\) places pour Caro	7	8	pas de solution	pas de solution

Deux hypothèses restent envisageables. Ali ayant été classé 4 fois troisième, il reste 16 places de troisième à répartir entre Bela et Caro, Bela en obtenant davantage que Caro. Caro a donc été classée 9 fois première, 4 fois deuxième et 7 fois troisième.