Exercice 2 — Qui est entré dans l'algorithme ?

Sujet

On note U la fonction qui à tout nombre positif N associe le chiffre des unités de son écriture décimale.

Ainsi \(U(345)=5\) et \(U(1073,7)=3\), etc.
On suppose cette fonction préprogrammée dans l'ordinateur, de sorte qu'elle peut être appelée dans l'algorithme ci-contre, qui comporte aussi l'instruction TANT QUE, avec le risque de voir le programme tourner indéfiniment si la condition d'arrêt (ici \(K=L\) ) ne se rencontre pas.

DECLARATION DES VARIABLES
K (variable de type nombre)
L (variable de type nombre)
DEBUT DE L'ALGORITHME
AFFICHER « Choisir un entier positif K » LIRE K
L PREND LA VALEUR 0
TANT QUE K est différent de L, FAIRE
L PREND LA VALEUR K
K PREND LA VALEUR \((\mathrm{K}+U(\mathrm{~K})) / 2\)
FIN TANT QUE
AFFICHER L
FIN DE L'ALGORITHME

Recopier et compléter les tableaux ci-dessous, en suivant le déroulement de l'algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur 32, puis lorsque l'utilisateur entre la valeur 843.

Valeur de \(L\)	0	32	17
Valeur de \(K\)	32	17	12
\(K \neq L\)	Oui	Oui	Oui

…

Valeur de \(L\)	0
Valeur de \(K\)	843
\(K \neq L\)	Oui

⋯
2. On suppose que l'algorithme s'arrête. Quelles valeurs peut-on observer à l'affichage?
3. On suppose que le nombre introduit est un entier positif. Montrer que les valeurs prises par \(K\) constituent une suite décroissante d'entiers positifs. En déduire que l'algorithme s'arrête.
4. On suppose que le nombre 3 est finalement affiché. Quel était le nombre introduit initialement?
5. On suppose que le nombre 8 est finalement affiché. Quels nombres avait-on pu introduire?

Valeur de \(L\)	0	843	423	213	108	58	33	18	13	8
Valeur de \(K\)	843	423	213	108	58	33	18	13	8	8
\(K \neq L\)	Oui	Oui	Oui	Oui	Oui	Oui	Oui	Oui	Oui	Non