Exercice 1 — Une suite à 16 temps — Olympiades 2014 Versailles

Sujet

Chacun des nombres entiers, de 1 à 16 , est inscrit dans une des 16 cases du tableau suivant :

\(a_{1}\)

\(a_{2}\)

\(a_{3}\)

\(a_{4}\)

\(a_{5}\)

\(a_{6}\)

\(a_{7}\)

\(a_{8}\)

\(a_{9}\)

\(a_{10}\)

\(a_{11}\)

\(a_{12}\)

\(a_{13}\)

\(a_{14}\)

\(a_{15}\)

\(a_{16}\)

Pour chaque groupe de trois cases consécutives, on calcule la somme des trois nombres contenus dans les trois cases.

Prouver qu'il n'est pas possible que toutes ces sommes soient strictement inférieures à 24 .
Est-il possible que toutes ces sommes soient inférieures ou égales à 24 ?
On suppose que toutes les sommes sont inférieures ou égales à 25 . Prouver que les nombres \(a_{1}, a_{4}, a_{7}, a_{10}, a_{13}\) et \(a_{16}\) sont tous supérieurs ou égaux à 11 .

Il y a 16 cases. En les prenant par groupes de trois distincts de la gauche vers la droite, on obtient 5 groupes de trois et la dernière case est isolée. Si les cinq sommes sont inférieures à 24 , la somme de ces sommes est inférieure à 120 . La somme des entiers compris entre 1 et 16 étant 136 , la dernière case devrait avoir un contenu supérieur à 16 , ce qui n'est pas possible.
Le raisonnement précédent peut être reproduit, qui donne le nombre 16 dans la dernière case, mais aussi dans la première à gauche en utilisant d'autres groupes de trois cases. Plusieurs cases peuvent ainsi être condamnées à contenir 16. C'est impossible.
On suppose que toutes les sommes des contenus de trois cases sont inférieures ou égales à 25 . La méthode des regroupements de trois cases peut être utilisée ici : si on laisse la première case à gauche isolée, on obtient 5 regroupements de trois cases, de somme inférieure ou égale à 5 fois 25 , soit 125 , et il reste un minimum de 11 pour \(a_{1}\). Si les cinq regroupements de trois cases ignorent la quatrième, même résultat, et \(a_{4}\) est supérieur ou égal à 11, et ainsi de suite.