Sujet
Partie 1 :
On considère le jeu suivant qui se joue à deux joueurs et dix jetons :
Le premier joueur (J1) pose sur la table 1 ou 2 jetons.
Le second joueur (J2) ajoute alors 1 ou 2 jetons sur la table et ainsi de suite...
Le joueur qui pose le \(10^{\text {ème }}\) jeton a gagné.
Voici un scénario possible :
J1 joue 2 jetons
J2 joue 2 jetons (il y a donc 4 jetons)
J1 joue 1 jeton ( 5 jetons au total)
J2 joue 2 jetons ( 7 jetons au total)
J1 joue 1 jeton ( 8 jetons au total)
J2 joue 2 jetons et gagne.
- Proposer un scénario dans lequel J1 gagne.
- Montrer que si un joueur pose le \(7^{\text {ème }}\) jeton et passe la main, il est sûr de gagner.
- L'un des joueurs, s'il joue bien, est assuré de gagner. S'agit-il du joueur J1 qui commence ou du joueur J2?
Partie 2 :
- Première variante : les joueurs disposent maintenant de quinze jetons : c'est toujours le joueur qui pose le dernier jeton qui a gagné. L'un des joueurs, s'il joue bien, est assuré de gagner. Lequel?
- Deuxième variante : le gagnant est encore celui qui pose le \(15^{\text {ème }}\) jeton mais on modifie la règle du jeu : on peut poser sur la table 1,2 ou 3 jetons. L'un des joueurs, s'il joue bien, est assuré de gagner. Lequel?
- Troisième variante : les deux joueurs disposent maintenant de \(n\) jetons. Comme précédemment, le gagnant est le joueur qui pose le dernier jeton. \(p\) désigne le nombre maximum de jetons qu'un joueur peut poser chaque fois qu'il joue : \(p\) est égal à 2 ou 3 . Déterminer en fonction de \(n\) et \(p\) lequel des deux joueurs, s'il joue bien, est assuré de gagner.